Colisão elástica

Considere duas partículas, indicadas pelos subscritos 1 e 2. Deixar m1 e _m2 serem as massas, u1 e u2 serem as velocidades antes da colisão e v1 e v2 serem as velocidades após a colisão.

Usando Conservation of Momentum para escrever uma fórmula

Por ser uma colisão elástica, o momento total antes da colisão é o mesmo que o momento total após a colisão. Dado que o momento (p) é calculado como

p = m v {\i1}displaystyle {\i=mv}

Podemos calcular o momento antes da colisão a ser:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\i1}displaystyle {1}u_{1}+m_{2}u_{2}}

e o ímpeto após a colisão a ser:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\i1}displaystyle {1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Estabelecer os dois iguais nos dá nossa primeira equação:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\i1}displaystyle {1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}v_{2}}}

Usando a Conservação de Energia para escrever uma segunda fórmula

A segunda regra que usamos é que a energia cinética total permanece a mesma, o que significa que a energia cinética inicial é igual à energia cinética final.

A fórmula para a energia cinética é:

m v 2 2 2 {\frac {mv^{2}}}{2}

Portanto, usando as mesmas variáveis de antes: A energia cinética inicial é:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 2 {\i1}}displaystyle {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\i1}frac {m_{2}u_{2}}{2}}{2}}{2}}

A energia cinética final é:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . estilo de jogo {m_frac {1}v_{1}^{2}}{2}}+{\i1}frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}{2}}. }

Estabelecendo os dois para serem iguais (já que a energia cinética total permanece a mesma):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . estilo de jogo {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}}{2}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}}{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}}+{\frac {2}}}{2}}{2 }

Colocando essas duas equações juntas

Estas equações podem ser resolvidas diretamente para encontrar _{o vi} quando o ui é conhecido ou vice-versa. Aqui está um exemplo de problema, que pode ser resolvido utilizando tanto a conservação do momento, quanto a conservação de energia:

Por exemplo:

Bola 1: massa = 3 kg, v = 4 m/s

Esfera 2: massa = 5 kg, v = -6 m/s

Após a colisão:

Bola 1: v = -8,5 m/s

Bola 2: v = desconhecida ( Vamos representá-la com v )

Usando a Conservação do Momentum:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\i1}displaystyle \i} 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v}

Depois de fazer multiplicação, e depois subtrair 3 ∗ ( - 8,5 ) {\i1}displaystyle 3*(-8,5)} de ambos os lados, obtemos:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\i1}displaystyle {\i} 12-30+25,5=5*v}

Resumindo o lado esquerdo, depois dividindo por 5 {\i1}displaystyle 5} nos dá:

   1,5 = v {\i1,5=v}

Poderíamos também ter resolvido este problema utilizando a Conservação de Energia:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\i1}{\i1}}{m_{\i1}u_{\i}{\i}{\i}+{\i}frac {m_{\i}u_{\i}{\i}{\i}={\i1}v_{\i}{\i}{\i}+{\i}frac {\i_{\i}{\i_\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}+{\i}frac

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 2 {\i1}{\i1}{\i1}}{\i1}+{\i}frac {3*4^{2}}{2}}+{\i}frac {5*(-6)^{2}}={\i1}frac {3(-8,5)^{2}}+{\i}frac {5v^{2}}}{2}}

Multiplicando ambos os lados por 2 {\displaystyle 2} , e depois fazer todas as multiplicações necessárias nos dá todas as multiplicações necessárias:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\a2}} 48+180=216,75+5v^{\a2}}

Acrescentando os números à esquerda, subtraindo 216,75 {\i1} de ambos os lados, e dividindo por 5 {\i1}displaystyle 5 {\i} nos dá:

  2,25 = v 2 ^ 2,25=v^ 2,25=v^ 2,25=v^ 2,25=v^ 2,25=v^ 2,25=v^ 2,25=v^ 2,25

Tomar a raiz quadrada de ambos os lados nos dá uma resposta de v = ± 1,5 {\\i1}displaystyle v=\i1,5} .

Infelizmente, ainda precisaríamos usar a conservação do impulso para descobrir se o v {\i1} é positivo ou negativo.