Colisão elástica

Uma colisão elástica é quando dois objetos colidem e ricocheteiam com pouca ou nenhuma deformação. Por exemplo, duas bolas de borracha que ricocheteiam juntas seriam elásticas. Dois carros batendo um no outro seriam inelásticos, pois os carros se amassam e não fazem ricochete. Em uma colisão perfeitamente elástica (o caso mais simples), nenhuma energia cinética é perdida, e assim a energia cinética dos dois objetos após a colisão é igual a sua energia cinética total antes da colisão. As colisões elásticas ocorrem somente se não houver conversão líquida de energia cinética em outras formas (calor, som). A outra regra a ser lembrada quando se trabalha com colisões elásticas é que o momento é conservado.

Uma amostra de uma colisão elástica de massas desiguais

Newtoniano unidimensional

Considere duas partículas, indicadas pelos subscritos 1 e 2. Deixar m1 e _m2 serem as massas, u1 e u2 serem as velocidades antes da colisão e v1 e v2 serem as velocidades após a colisão.

Usando Conservation of Momentum para escrever uma fórmula

Por ser uma colisão elástica, o momento total antes da colisão é o mesmo que o momento total após a colisão. Dado que o momento (p) é calculado como

p = m v {\i1}displaystyle {\i=mv} $\,\!p=mv$

Podemos calcular o momento antes da colisão a ser:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\i1}displaystyle {1}u_{1}+m_{2}u_{2}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

e o ímpeto após a colisão a ser:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\i1}displaystyle {1}v_{1}+m_{2}v_{2}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Estabelecer os dois iguais nos dá nossa primeira equação:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\i1}displaystyle {1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}v_{2}}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Usando a Conservação de Energia para escrever uma segunda fórmula

A segunda regra que usamos é que a energia cinética total permanece a mesma, o que significa que a energia cinética inicial é igual à energia cinética final.

A fórmula para a energia cinética é:

m v 2 2 2 {\frac {mv^{2}}}{2} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Portanto, usando as mesmas variáveis de antes: A energia cinética inicial é:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 2 2 {\i1}}displaystyle {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\i1}frac {m_{2}u_{2}}{2}}{2}}{2}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

A energia cinética final é:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . estilo de jogo {m_frac {1}v_{1}^{2}}{2}}+{\i1}frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Estabelecendo os dois para serem iguais (já que a energia cinética total permanece a mesma):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . estilo de jogo {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}}{2}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}}{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}}+{\frac {2}}}{2}}{2 } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Colocando essas duas equações juntas

Estas equações podem ser resolvidas diretamente para encontrar _{o vi} quando o ui é conhecido ou vice-versa. Aqui está um exemplo de problema, que pode ser resolvido utilizando tanto a conservação do momento, quanto a conservação de energia:

Por exemplo:

Bola 1: massa = 3 kg, v = 4 m/s

Esfera 2: massa = 5 kg, v = -6 m/s

Após a colisão:

Bola 1: v = -8,5 m/s

Bola 2: v = desconhecida ( Vamos representá-la com v )

Usando a Conservação do Momentum:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\i1}displaystyle \i} 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

Depois de fazer multiplicação, e depois subtrair 3 ∗ ( - 8,5 ) {\i1}displaystyle 3*(-8,5)} $3*(-8.5)$ de ambos os lados, obtemos:

12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\i1}displaystyle {\i} 12-30+25,5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Resumindo o lado esquerdo, depois dividindo por 5 {\i1}displaystyle 5} $5$ nos dá:

1,5 = v {\i1,5=v} $\ 1.5=v$

Poderíamos também ter resolvido este problema utilizando a Conservação de Energia:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 2 {\i1}{\i1}}{m_{\i1}u_{\i}{\i}{\i}+{\i}frac {m_{\i}u_{\i}{\i}{\i}={\i1}v_{\i}{\i}{\i}+{\i}frac {\i_{\i}{\i_\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}+{\i}frac ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 2 {\i1}{\i1}{\i1}}{\i1}+{\i}frac {3*4^{2}}{2}}+{\i}frac {5*(-6)^{2}}={\i1}frac {3(-8,5)^{2}}+{\i}frac {5v^{2}}}{2}} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Multiplicando ambos os lados por 2 {\displaystyle 2} $2$ , e depois fazer todas as multiplicações necessárias nos dá todas as multiplicações necessárias:

48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\a2}} 48+180=216,75+5v^{\a2}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Acrescentando os números à esquerda, subtraindo 216,75 {\i1} $216.75$ de ambos os lados, e dividindo por 5 {\i1}displaystyle 5 {\i} $5$ nos dá:

2,25 = v 2 ^ 2,25=v^ 2,25=v^ 2,25=v^ 2,25=v^ 2,25=v^ 2,25=v^ 2,25=v^ 2,25 $\ 2.25=v^{2}$

Tomar a raiz quadrada de ambos os lados nos dá uma resposta de v = ± 1,5 {\\i1}displaystyle v=\i1,5} $v=\pm 1.5$ .

Infelizmente, ainda precisaríamos usar a conservação do impulso para descobrir se o v {\i1} $v$ é positivo ou negativo.

Perguntas e Respostas

P: O que é uma colisão elástica?

R: Uma colisão elástica ocorre quando dois objetos colidem e retornam com pouca ou nenhuma deformação.

P: Qual é um exemplo de colisão elástica?

R: Duas bolas de borracha quicando juntas seriam um exemplo de colisão elástica.

P: O que é uma colisão inelástica?

R: Uma colisão inelástica ocorre quando dois objetos colidem e se amassam, mas não ricocheteiam.

P: Qual é um exemplo de colisão inelástica?

R: Dois carros batendo um no outro seria um exemplo de colisão inelástica.

P: O que acontece em uma colisão perfeitamente elástica?

R: Em uma colisão perfeitamente elástica, nenhuma energia cinética é perdida e, portanto, a energia cinética dos dois objetos após a colisão é igual à energia cinética total antes da colisão.

P: Como ocorrem as colisões elásticas?

R: As colisões elásticas ocorrem somente se não houver conversão líquida de energia cinética em outras formas, como calor ou som.

P: O que é conservado em uma colisão elástica?

R: Em uma colisão elástica, o momento é conservado.