Indução matemática

Autor: Leandro Alegsa Data de criação: 18 de dezembro de 2020

A indução matemática é uma forma especial de provar uma verdade matemática. Pode ser usada para provar que algo é verdade para todos os números naturais (todos os números inteiros positivos). A ideia é que

Algo é verdade para o primeiro caso
A mesma coisa é sempre verdade para o caso seguinte

então

O mesmo se aplica a todos os casos

Na linguagem cuidadosa da matemática:

Declarar que a prova será por indução sobre n {\displaystyle n} . ( n {\displaystyle n} é a variável de indução).
Mostrar que a afirmação é verdadeira quando n {\i1}é 1.
Assumir que a afirmação é verdadeira para qualquer número natural n {\i1} . (Chama-se a isto o passo de indução).

Mostrar então que a afirmação é verdadeira para o próximo número, n + 1 {\\i1} $n+1$ .

Porque é verdade para 1, depois é verdade para 1+1 (=2, pelo passo de indução), depois é verdade para 2+1 (=3), depois é verdade para 3+1 (=4), e assim por diante.

Um exemplo de prova por indução:

Provar que para todos os números naturais, n:

1 + 2 + 3 + . . . . + ( n - 1 ) + n = 1 2 n ( n + 1 ) {\displaystyle 1+2+3+.... $1+2+3+....+(n-1)+n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)$

Comprovação:

Primeiro, a declaração pode ser escrita: para todos os números naturais n

2 ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) {\\i1} {\i1}^{\i}k=n(n+1)}}displaystyle 2\sum _{\i=1}k=n(n+1)} $2\sum _{k=1}^{n}k=n(n+1)$

Por indução no n,

Primeiro, para n=1:

2 ∑ k = 1 1 k = 2 ( 1 ) = 1 ( 1 + 1 ) {\\i1} {\i1}k=1}k=2(1)=1(1+1)} $2\sum _{k=1}^{1}k=2(1)=1(1+1)$ ,

por isso, isto é verdade.

Em seguida, assumir que para alguns n=n0 a afirmação é verdadeira. Ou seja..:

2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) {\i1} {k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)} $2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1)$

Depois para n=n0+1:

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k {\\i1}k}^{{n_{0}}+1}k $2\sum _{k=1}^{{n_{0}}+1}k$

pode ser reescrito

2 ( ∑ k = 1 n 0 k + ( n 0 + 1 ) ) Estilo de jogo 2 Esquerda _{k=1}^{n_{0}k+(n_{0}+1){direita)} $2\left(\sum _{k=1}^{n_{0}}k+(n_{0}+1)\right)$

Desde 2 ∑ k = 1 n 0 k = n 0 ( n 0 + 1 ) , {\i1}displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}k=n_{0}(n_{0}+1),} $2\sum _{k=1}^{n_{0}}k=n_{0}(n_{0}+1),$

2 ∑ k = 1 n 0 + 1 k = n 0 ( n 0 + 1 ) + 2 ( n 0 + 1 ) = ( n 0 + 1 ) ( n 0 + 2 ) {\displaystyle 2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)}(n_{0}+2)} $2\sum _{k=1}^{n_{0}+1}k=n_{0}(n_{0}+1)+2(n_{0}+1)=(n_{0}+1)(n_{0}+2)$

Daí que a prova esteja correcta.

Provas semelhantes

A indução matemática é frequentemente declarada com o valor inicial 0 (em vez de 1). Na realidade, funcionará igualmente bem com uma variedade de valores iniciais. Aqui está um exemplo quando o valor inicial é 3. A soma dos ângulos interiores de um polígono de n {\displaystyle n} - lateral é ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} $(n-2)180$ graus.

O valor inicial de partida é 3, e os ângulos interiores de um triângulo são ( 3 - 2 ) 180 {\i1}graus ao estilo de jogo (3-2)180} $(3-2)180$ . Assumir que os ângulos interiores de um polígono de n {\displaystyle n} - lateral é de ( n - 2 ) 180 {\displaystyle (n-2)180} $(n-2)180$ graus. Acrescentar um triângulo que torna a figura um n + 1 estilo n+1. $n+1$ -polígono lateral, e isso aumenta a contagem dos ângulos em 180 graus ( n - 2 ) 180 + 180 = ( n + 1 - 2 ) 180 {\i1}graus {\i1}displaystyle (n-2)180+180=(n+1-2)180}graus Provado. $(n-2)180+180=(n+1-2)180$

Há um grande número de objectos matemáticos para os quais as provas por indução matemática funcionam. O termo técnico é um conjunto bem ordenado.

Definição indutiva

A mesma ideia pode funcionar para definir, assim como para provar.

Definir n {\displaystyle n {\displaystyle n {\displaystyle n} th degree cousin:

Um primo de 1° $1$ grau é filho de um irmão de um dos pais
Um primo de grau n + 1 é filho de um primo de grau n $n+1$ + 1 de um primo de grau n de um dos pais.

Existe um conjunto de axiomas para a aritmética dos números naturais que se baseia na indução matemática. A isto chama-se "Axiomas de Peano". Os símbolos indefinidos são | e =. Os axiomas são

| é um número natural
Se n é um número natural, então n $n|$ é um número natural
Se n | = m | {\\displaystyle n|=m|} $n|=m|$ então n = m {\displaystyle n=m} $n=m$

Pode-se então definir as operações de adição e multiplicação e assim por diante, por indução matemática. Por exemplo:

m + | = m | | {\displaystyle m+|=m|}} $m+|=m|$
m + n | = ( m + n ) | | {\displaystyle m+n|=(m+n)|}} $m+n|=(m+n)|$

Perguntas e Respostas

P: O que é indução matemática?

R: A indução matemática é uma maneira especial de provar uma verdade matemática que pode ser usada para provar que algo é verdadeiro para todos os números naturais ou números positivos a partir de um certo ponto.

P: Como se processa a prova por indução?

R: A prova por indução normalmente procede declarando que a prova será feita sobre n, mostrando que a declaração é verdadeira quando n é 1, assumindo que a declaração é verdadeira para qualquer número natural n, e depois mostrando que é verdadeira para o próximo número (n+1).

P: O que significa assumir algo em uma medida indutiva?

R: Assumir algo em uma medida indutiva significa aceitá-lo como sendo verdade sem fornecer provas ou provas. Serve como ponto de partida para uma investigação mais aprofundada.

P: Que tipo de números são usados na indução matemática?

R: A indução matemática normalmente usa números naturais ou números positivos a partir de um certo ponto.

P: Como o senhor demonstra que algo é verdadeiro para o próximo número (n+1)?

R: Para mostrar que algo é verdade para o próximo número (n+1), o senhor deve primeiro provar que é verdade quando n=1, e depois usar sua suposição do passo indutivo para mostrar que também é verdade para n+1.