Espaço topológico
Um espaço topológico é um espaço estudado em topologia, a matemática da estrutura das formas. Grosso modo, é um conjunto de coisas (chamadas pontos) juntamente com uma maneira de saber quais coisas estão próximas umas das outras.
Mais precisamente, um espaço topológico tem um certo tipo de conjunto, chamado de conjuntos abertos. Os conjuntos abertos são importantes porque permitem falar de pontos próximos a outro ponto, chamado de vizinhança do ponto. Uma vizinhança de um ponto é simplesmente um conjunto aberto que contém esse ponto. Se não se tinha o conceito de conjuntos abertos, não se pode definir vizinhanças de uma boa maneira. Se alguém tentar definir uma vizinhança de um ponto como qualquer conjunto que contenha aquele ponto, pode apenas incluir aquele ponto e somente aquele ponto, não qualquer ponto perto dele, ou pontos distantes. Temos também o conceito de conjuntos fechados, que são complementos de conjuntos abertos. Ou seja, todos os pontos que não pertencem a um determinado conjunto aberto formam um conjunto fechado.
Os conjuntos abertos devem seguir certas regras para que elas correspondam a nossas idéias de proximidade. A união de qualquer número de conjuntos abertos deve ser aberta, e a união de um número finito de conjuntos fechados deve ser fechada. (A segunda regra só funciona para um número finito de conjuntos fechados. Isto porque em muitos casos um conjunto contendo um único ponto é fechado. Qualquer conjunto é feito de pontos. Se a segunda regra se aplicasse a um número infinito de conjuntos fechados, então cada conjunto seria fechado). Como um caso especial, o conjunto contendo cada ponto é tanto aberto quanto fechado. O conjunto que não contém pontos também é tanto aberto quanto fechado.
Um conjunto de pontos pode ter muitas definições diferentes do que é um conjunto aberto. Pode-se pensar em apenas certos conjuntos como abertos, ou mais conjuntos como abertos. Pode-se até considerar que cada conjunto é aberto. O mesmo conjunto com diferentes definições de conjuntos abertos forma diferentes espaços topológicos.
Perguntas e Respostas
P: O que é um espaço topológico?
R: Um espaço topológico é um conjunto de pontos e uma maneira de saber que coisas estão próximas umas das outras. É estudado na matemática da estrutura das formas.
P: O que são conjuntos abertos?
R: Os conjuntos abertos são importantes porque permitem falar de pontos próximos a outro ponto, chamado de vizinhança do ponto. Eles são definidos como certos tipos de conjuntos que podem ser usados para definir bairros de uma boa maneira.
P: O que devem seguir os conjuntos abertos?
R: Os conjuntos abertos devem seguir certas regras para que correspondam às nossas idéias de proximidade. A união de qualquer número de conjuntos abertos deve ser aberta, e a união de um número finito de conjuntos fechados deve ser fechada.
P: Qual é o caso especial para os conjuntos abertos e fechados?
R: O caso especial para os conjuntos abertos e fechados é que o conjunto que contém cada ponto é tanto aberto quanto fechado, assim como o conjunto que não contém nenhum ponto é tanto aberto quanto fechado.
P: Como as diferentes definições afetam os espaços topológicos?
R: Diferentes definições para o que um conjunto aberto pode afetar os espaços topológicos ao considerar apenas certos conjuntos como abertos ou mais do que o normal, ou mesmo ao considerar cada conjunto como aberto.
P: Pode um número infinito de conjuntos fechados formar qualquer conjunto?
R: Não, se um número infinito de conjuntos fechados fosse permitido, então cada conjunto seria considerado fechado, já que qualquer conjunto consiste apenas de pontos.
