Transformação Wavelet

A transformação wavelet é uma representação de tempofrequência de um sinal. Por exemplo, utilizamo-la para a redução de ruído, extracção de características ou compressão de sinal.

A transformação do sinal contínuo em ondas é definida como

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ ψ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\i1}displaystyle {\i}left[W_psi {\i}fright](a

onde

  • ψ \psi é o chamado "mother wavelet",
  • a {{\i1}displaystyle a}a denota dilatação wavelet,
  • b b) {\displaystyle b}denota o deslocamento temporal do wavelet e
  • ∗ {{\displaystyle *}{\displaystyle *} símbolo denota conjugação complexa.

No caso de a = a 0 m {\i} {a_{0}}^{m}} {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}e b = a 0 m k T {\i}^{a_{0}}^{m}kT} {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}onde um 0 > 1 {\\i1}displaystyle a_{\i}>1} {\displaystyle a_{0}>1}T > 0, T > 0, T > 0, e m m e k são kconstantes inteiras, a transformação wavelet é chamada de transformação wavelet discreta (de sinal contínuo).m

No caso de a = 2 m {\\i1}estilo de exibição a=2^{m}} {\displaystyle a=2^{m}}e b = 2 m k T {\i1}estilo de exibição b=2^{m}kT} {\displaystyle b=2^{m}kT}onde m > 0 {\i1}displaystyle m>0} {\displaystyle m>0}, a discreta transformação wavelet é chamada dyadic. É definida como

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ ψ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\i1}displaystyle {\i1}esquerda[W_{\i}fright](m,k)=frac {1}{sqrt {2^{m}}}}}int _{-infty}{f(t)}psi ^{****left(2^-m}t-kTT=dt,{\i} {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,},

onde

  • m {\displaystyle m}m é a escala de frequência,
  • kk {\i1}é a escala temporal e
  • T{\displaystyle T} {\i1}é constante, o que depende da onda mãe.

É possível reescrever a transformação de onda diádica discreta como

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\i1}displaystyle {\i}left[W_{\i}fright](m,k)=int _{\i1}f(t)h_{\i}left(2^\i}kT-t-tright)dt,{\i} {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,},

em que h m{\displaystyle h_{m}} {\\i1}}é o impulso característico do filtro contínuo que é idêntico ao ψ m ∗ {\i} {\i} {\i1}^{\i1} {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}para dado m {\i1}m {\i1}m.

Analogamente, a transformação de onda diádica com tempo discreto (de sinal discreto) é definida como

Transformação contínua de onda de sinal de quebra de frequência. Symlet usado com 5 momentos de fuga.Zoom
Transformação contínua de onda de sinal de quebra de frequência. Symlet usado com 5 momentos de fuga.


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