Wavelet

Uma Wavelet é uma função matemática utilizada para escrever uma função ou sinal em termos de outras funções que são mais simples de estudar. Muitas tarefas de processamento de sinal podem ser vistas em termos de uma transformação wavelet. Informalmente falando, o sinal pode ser visto sob a lente com uma ampliação dada pela escala do wavelet. Ao fazê-lo, podemos ver apenas a informação que é determinada pela forma da wavelet utilizada.

O termo inglês "wavelet" foi introduzido no início dos anos 80 pelos físicos franceses Jean Morlet e Alex Grossman. Utilizaram a palavra francesa "ondelette" (que significa "pequena onda"). Mais tarde, esta palavra foi trazida para o inglês traduzindo "onde" para "wave" dando "wavelet".

Wavelet é (complexo) função do espaço Hilbert ψ L 2 ( R ) {\i} {\i1}(mathbb {R} )} {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}. Para aplicações práticas, deve satisfazer as seguintes condições.

Deve ter energia finita.

∫ - ∞ ∞ ψ | ∞ ( t ) | 2 d t < ∞ {\i1}displaystyle {\i}||psi (t)|^{2}dt<infty {\i} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty }

Deve satisfazer uma condição de admissibilidade.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}({\i1}}({\i1}}}({\i1}}mega )^{\i} \sobre a mega-mega {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty }onde ψ {\displaystyle {\hat {\psi }}}é uma transformação de Fourier de ψ, ao estilo de Fourier. {\displaystyle \psi \,}

A condição média zero implica a partir da condição de admissibilidade.

∫ - ∞ ∞ ψ ψ ( t ) d t = 0 {\i1}displaystyle {\i}int _{\i}^{\i1}psi (t)dt=0} {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0}

A função ψ {\displaystyle \psi \,}é chamada "mother wavelet". As suas versões normalizadas traduzidas (deslocadas) e dilatadas (escalonadas) são definidas da seguinte forma.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\i1}displaystylepsi _{a,b}(t)={\i1}frac {\i}{sqrt {a}psi {\i}left(t -b}over {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}

A onda-mãe original tem parâmetros a = 1 {\i1} {\displaystyle a=1}e b = 0 {\i1} {\displaystyle b=0}. A tradução é descrita pelo parâmetro b {\i1}displaystyle b}{\displaystyle b} e a dilatação por um parâmetro {\i1}displaystyle a}a.

Morlet wavelet
Morlet wavelet


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