Um espaço Hilbert é um conceito matemático que abrange o uso extra-dimensional do espaço euclidiano, ou seja, um espaço com mais de três dimensões. Um espaço Hilbert utiliza a matemática de duas e três dimensões para tentar descrever o que acontece em mais do que três dimensões. Ele tem o nome de David Hilbert.
Álgebra vetorial e cálculo são métodos normalmente utilizados no plano euclidiano bidimensional e no espaço tridimensional. Nos espaços de Hilbert, estes métodos podem ser usados com qualquer número finito ou infinito de dimensões. Um espaço Hilbert é um espaço vetorial que tem a estrutura de um produto interno que permite a medição de comprimento e ângulo. Os espaços Hilbert também têm que ser completos, o que significa que têm que existir limites suficientes para que o cálculo funcione.
Os primeiros espaços Hilbert foram estudados na primeira década do século 20 por David Hilbert, Erhard Schmidt e Frigyes Riesz. John von Neumann surgiu pela primeira vez com o nome "Espaço Hilbert". Os métodos espaciais de Hilbert fizeram uma grande diferença na análise funcional.
Os espaços Hilbert aparecem muito em matemática, física e engenharia, muitas vezes como espaços funcionais infinitamente dimensionados. Eles são especialmente úteis para estudar equações diferenciais parciais, mecânica quântica, análise de Fourier (que inclui processamento desinais e transferência de calor). Os espaços de Hilbert são utilizados na teoria ergódica, que é a base matemática da termodinâmica. Todos os espaços euclidianos normais são também espaços Hilbert. Outros exemplos de espaços Hilbert incluem espaços de funções integráveis ao quadrado, espaços de seqüências, espaços Sobolev compostos de funções generalizadas e espaços Hardy de funções holomórficas.
