Espaço Hilbert
Um espaço Hilbert é um conceito matemático que abrange o uso extra-dimensional do espaço euclidiano, ou seja, um espaço com mais de três dimensões. Um espaço Hilbert utiliza a matemática de duas e três dimensões para tentar descrever o que acontece em mais do que três dimensões. Ele tem o nome de David Hilbert.
Álgebra vetorial e cálculo são métodos normalmente utilizados no plano euclidiano bidimensional e no espaço tridimensional. Nos espaços de Hilbert, estes métodos podem ser usados com qualquer número finito ou infinito de dimensões. Um espaço Hilbert é um espaço vetorial que tem a estrutura de um produto interno que permite a medição de comprimento e ângulo. Os espaços Hilbert também têm que ser completos, o que significa que têm que existir limites suficientes para que o cálculo funcione.
Os primeiros espaços Hilbert foram estudados na primeira década do século 20 por David Hilbert, Erhard Schmidt e Frigyes Riesz. John von Neumann surgiu pela primeira vez com o nome "Espaço Hilbert". Os métodos espaciais de Hilbert fizeram uma grande diferença na análise funcional.
Os espaços Hilbert aparecem muito em matemática, física e engenharia, muitas vezes como espaços funcionais infinitamente dimensionados. Eles são especialmente úteis para estudar equações diferenciais parciais, mecânica quântica, análise de Fourier (que inclui processamento desinais e transferência de calor). Os espaços de Hilbert são utilizados na teoria ergódica, que é a base matemática da termodinâmica. Todos os espaços euclidianos normais são também espaços Hilbert. Outros exemplos de espaços Hilbert incluem espaços de funções integráveis ao quadrado, espaços de seqüências, espaços Sobolev compostos de funções generalizadas e espaços Hardy de funções holomórficas.
Os espaços Hilbert podem ser usados para estudar os harmônicos das cordas vibratórias.
Perguntas e Respostas
P: O que é um espaço Hilbert?
R: Um espaço Hilbert é um conceito matemático que usa a matemática de duas e três dimensões para tentar descrever o que acontece em mais de três dimensões. É um espaço vetorial com uma estrutura de produto interior que permite medir comprimento e ângulo, e também deve ser completo para que o cálculo funcione.
P: Quem nomeou o conceito de espaços Hilbert?
R: O conceito dos espaços Hilbert foi estudado pela primeira vez no começo do século 20 por David Hilbert, Erhard Schmidt, e Frigyes Riesz. John von Neumann foi quem inventou o nome "Espaço Hilbert".
P: Quais são algumas aplicações dos espaços Hilbert?
R: Os espaços Hilbert são usados em muitas áreas tais como matemática, física, engenharia, análise funcional, equações diferenciais parciais, mecânica quântica, análise de Fourier (que inclui processamento de sinais e transferência de calor), teoria ergódica (a base matemática da termodinâmica), funções quadradas integráveis, seqüências, espaços Sobolev compostos de funções generalizadas, espaços Hardy de funções holomórficas.
P: Todos os espaços euclidianos normais são também considerados Espaços Hilbert?
R: Sim - todos os espaços euclidianos normais também são considerados Espaços Hilbert.
P: Como os Espaços Hilbert fizeram a diferença na análise funcional?
R: O uso dos Espaços Hilbert fez uma grande diferença na análise funcional ao proporcionar novos métodos para o estudo de problemas relacionados a essa área.
P: Sobre que tipo de matemática é preciso ter conhecimento quando se trabalha com um Espaço Hilbert?
R: Álgebra vetorial e cálculo são normalmente usados quando se trabalha com um plano euclidiano bidimensional ou com um espaço tridimensional; entretanto, esses métodos também podem ser usados com qualquer número finito ou infinito de dimensões quando se lida com um Espaço Hilber.
