Cálculo

História

Nas décadas de 1670 e 1680, Sir Isaac Newton na Inglaterra e Gottfried Leibniz na Alemanha fizeram os cálculos ao mesmo tempo, trabalhando separadamente um do outro. Newton queria ter uma nova maneira de prever onde ver planetas no céu, porque a astronomia sempre tinha sido uma forma popular e útil de ciência, e saber mais sobre os movimentos dos objetos no céu noturno era importante para a navegação dos navios. Leibniz queria medir o espaço (área) sob uma curva (uma linha que não é reta). Muitos anos depois, os dois homens discutiram sobre quem o descobriu primeiro. Cientistas da Inglaterra apoiaram Newton, mas cientistas do resto da Europa apoiaram Leibniz. A maioria dos matemáticos de hoje concorda que ambos os homens dividem o crédito igualmente. Algumas partes do cálculo moderno vêm de Newton, tais como seus usos na física. Outras partes vêm do Leibniz, tais como os símbolos usados para escrevê-lo.

Eles não foram os primeiros a usar a matemática para descrever o mundo físico - Aristóteles e Pitágoras vieram mais cedo, assim como Galileo Galilei, que disse que a matemática era a linguagem da ciência. Mas tanto Newton quanto Leibniz foram os primeiros a projetar um sistema que descreve como as coisas mudam com o tempo e pode prever como elas mudarão no futuro.

O nome "cálculo" era a palavra latina para uma pequena pedra que os antigos romanos usavam na contagem e no jogo. A palavra inglesa "calculate" vem da mesma palavra latina.

Cálculo diferencial

O cálculo diferencial é usado para encontrar a taxa de variação de uma variável em comparação com outra variável.

No mundo real, ele pode ser usado para encontrar a velocidade de um objeto em movimento, ou para entender como a eletricidade e o magnetismo funcionam. É muito importante para compreender a física e muitas outras áreas da ciência.

O Cálculo Diferencial também é útil para a elaboração de gráficos. Ele pode ser usado para encontrar a inclinação de uma curva e os pontos mais altos e mais baixos (estes são chamados de máximo e mínimo) de uma curva.

As variáveis podem mudar seu valor. Isto é diferente dos números porque os números são sempre os mesmos. Por exemplo, o número 1 é sempre igual a 1 e o número 200 é sempre igual a 200. É comum escrever variáveis como letras tais como a letra x. "X" pode ser igual a 1 em um ponto e 200 em outro ponto.

Alguns exemplos de variáveis são a distância e o tempo porque elas podem mudar. A velocidade de um objeto é a distância que ele percorre em um determinado tempo. Portanto, se uma cidade está a 80 quilômetros de distância e uma pessoa em um carro chega lá em uma hora, ela viajou a uma velocidade média de 80 quilômetros por hora. Mas isto é apenas uma média - talvez tenham viajado mais rápido em alguns momentos (em uma rodovia) e mais lento em outros momentos (em um semáforo ou em uma pequena rua onde as pessoas moram). Imagine um motorista tentando descobrir a velocidade de um carro usando apenas seu odômetro (medidor de distância) e relógio, sem um velocímetro!

Até que o cálculo fosse inventado, a única maneira de resolver isso era cortar o tempo em pedaços cada vez menores, de modo que a velocidade média ao longo do tempo menor se aproximaria cada vez mais da velocidade real em um ponto no tempo. Este era um processo muito longo e difícil e tinha que ser feito cada vez que as pessoas quisessem resolver alguma coisa.

Um problema muito semelhante é encontrar a inclinação (quão íngreme é) em qualquer ponto de uma curva. A inclinação de uma linha reta é fácil de se calcular - é simplesmente o quanto sobe (y ou vertical) dividido pelo quanto atravessa (x ou horizontal). Em uma curva, porém, a inclinação é uma variável (tem valores diferentes em pontos diferentes) porque a linha se dobra. Mas se a curva fosse cortada em pedaços muito, muito pequenos, a curva no ponto pareceria quase uma linha reta muito curta. Assim, para trabalhar sua inclinação, uma linha reta pode ser traçada através do ponto com a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Se for feita exatamente como deve ser, a reta terá a mesma inclinação da curva, e é chamada de tangente. Mas não há como saber (sem matemática muito complicada) se a tangente é exatamente correta, e nossos olhos não são suficientemente precisos para ter certeza se ela é exata ou simplesmente muito próxima.

O que Newton e Leibniz encontraram foi uma maneira de trabalhar exatamente a inclinação (ou a velocidade no exemplo da distância), usando regras simples e lógicas. Eles dividiram a curva em um número infinito de peças muito pequenas. Em seguida, escolheram pontos de ambos os lados da faixa em que estavam interessados e trabalharam tangentes em cada um deles. medida que os pontos se aproximavam do ponto em que estavam interessados, a inclinação se aproximava de um valor particular à medida que as tangentes se aproximavam da inclinação real da curva. O valor particular que se aproximava era o declive real.

Digamos que temos uma função y = f ( x ) {\i1} . f é a abreviação de função, portanto esta equação significa "y é uma função de x". Isto nos diz que a altura de y no eixo vertical depende do que x (o eixo horizontal) é naquele momento. Por exemplo, com a equação y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}}. Sabemos que se x é 1, então yé 1; se x é 3, então y é 9; se x é 20, então y é 400. A derivada produzida usando este método aqui é 2 x {\i1}displaystyle 2x}. ou 2 multiplicado por x estilo de jogo x. Então sabemos sem ter que traçar nenhuma linha tangente que em qualquer ponto da curva f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}}. o derivado, f ′ ( x ) f'(x)} (marcado com o símbolo principal), será 2 x {\i1}, em qualquer ponto. Este processo de elaboração de uma inclinação utilizando limites é chamado de diferenciação, ou seja, encontrar a derivada.

A maneira de escrever a derivada em matemática é f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h . f^{\i1}(x)=lim _{h)righttarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}{h}. }

Leibniz chegou ao mesmo resultado, mas chamado h " d x {\displaystyle dx} ", o que significa "com respeito a x". Ele chamou a mudança resultante de f ( x ) de f(x)}. "d y y {\i1}displaystyle dy ", o que significa "uma pequena quantidade de y". A notação de Leibniz é utilizada por mais livros porque é fácil de entender quando as equações se tornam mais complicadas. Na notação de Leibniz: d y d x = f ′ ( x ) {\frac {\frac {\dx}}=f'(x)}

Os matemáticos desenvolveram esta teoria básica para fazer regras simples de álgebra que podem ser usadas para encontrar a derivada de quase qualquer função.

Em uma curva, dois pontos diferentes têm inclinações diferentes. As linhas vermelha e azul são tangentes à curva.


Uma imagem que mostra o que x e x + h significam na curva.

Cálculo integral

O cálculo integral é o processo de calcular a área sob um gráfico de uma função. Um exemplo é calcular a distância percorrida por um carro: se você conhecer a velocidade do carro em diferentes pontos no tempo e desenhar um gráfico dessa velocidade, então a distância percorrida pelo carro será a área sob o gráfico.

A maneira de fazer isso é dividir o gráfico em muitas peças muito pequenas, e depois desenhar retângulos muito finos sob cada peça. À medida que os retângulos se tornam cada vez mais finos, os retângulos cobrem cada vez melhor a área embaixo do gráfico. A área de um retângulo é fácil de calcular, assim podemos calcular a área total de todos os retângulos. Para retângulos mais finos, este valor de área total se aproxima da área sob o gráfico. O valor final da área é chamado de integral da função.

Em matemática, o integral da função f(x) de a para b, está escrito como ∫ a b f ( x ) d x {\i1}displaystyle {a}int _{b}f(x)^,dx} .

A integração consiste em encontrar as áreas, dadas a, b e y = f(x).


Podemos aproximar a área sob uma curva somando as áreas de muitos retângulos sob a curva. Quanto mais retângulos utilizarmos, melhor será nossa aproximação.

Principal idéia de cálculo

A idéia principal em cálculo é chamada de teorema fundamental do cálculo. Esta idéia principal diz que os dois processos de cálculo, cálculo diferencial e integral, são opostos. Ou seja, uma pessoa pode usar o cálculo diferencial para desfazer um processo de cálculo integral. Além disso, uma pessoa pode usar o cálculo integral para desfazer um método de cálculo diferencial. Isto é exatamente como usar divisão para "desfazer" multiplicação, ou adição para "desfazer" subtração.

Em uma única sentença, o teorema fundamental corre algo como isto: "A derivada do integral de uma função f é a própria função".

Outros usos do cálculo

O cálculo é usado para descrever coisas que mudam, como coisas na natureza. Ele pode ser usado para mostrar e aprender tudo isso:

• Como as ondas se movimentam. As ondas são muito importantes no mundo natural. Por exemplo, o som e a luz podem ser considerados como ondas.
• Onde o calor se move, como em uma casa. Isto é útil para a arquitetura (construir casas), para que a casa possa ser tão barata quanto possível para aquecer.
• Como coisas muito pequenas como os átomos agem.
• Quão rápido algo vai cair, também conhecido como gravidade.
• Como funcionam as máquinas, também conhecidas como mecânicas.
• O caminho da lua enquanto ela se move ao redor da terra. Também, o caminho da Terra enquanto ela se move ao redor do Sol, e qualquer planeta ou lua que se move ao redor de qualquer coisa no espaço.