Cálculo diferencial

O cálculo diferencial, um ramo do cálculo, é o processo de descobrir a taxa de mudança de uma variável em relação a outra variável, usando funções. É uma maneira de descobrir como uma forma muda de um ponto para outro, sem precisar dividir a forma em um número infinito de peças. O cálculo diferencial é o oposto do cálculo integral. Foi desenvolvido nas décadas de 1670 e 1680 por Sir Isaac Newton e Gottfried Leibniz.

Antecedentes

Ao contrário de um número como 5 ou 200, uma variável pode mudar seu valor. Por exemplo, a distância e o tempo são variáveis. Em uma corrida olímpica, à medida que a pessoa corre, sua distância da linha de partida sobe. Enquanto isso, um cronômetro ou relógio mede o tempo à medida que ele sobe. Podemos medir a velocidade média do corredor se dividirmos a distância que ele percorreu pelo tempo que levou. Mas isto não diz a velocidade em que a pessoa estava correndo exatamente a 1,5 segundos da corrida. Se tivéssemos a distância a 1 segundo e a distância a 2 segundos, ainda teríamos apenas uma média, embora provavelmente fosse mais correta do que a média para toda a corrida.

Até que o cálculo fosse inventado, a única maneira de resolver isso era cortar o tempo em pedaços cada vez menores, de modo que a velocidade média ao longo do tempo menor se aproximaria cada vez mais da velocidade real com exatamente 1,5 segundos. Este era um processo muito longo e difícil e tinha que ser feito cada vez que as pessoas quisessem resolver alguma coisa. Imagine um motorista tentando descobrir a velocidade de um carro usando apenas seu odômetro (medidor de distância) e relógio, sem um velocímetro!

Um problema muito semelhante é encontrar a inclinação (quão íngreme é) em qualquer ponto de uma curva. A inclinação de uma linha reta é fácil de trabalhar - é simplesmente o quanto ela sobe (y ou vertical) dividido pelo quanto ela atravessa (x ou horizontal). Se uma linha é paralela ao eixo x, então sua inclinação é zero. Se uma linha reta atravessou (x,y) = (2,10) e (4,18), a linha sobe 8 e atravessa 2, então sua inclinação é 8 divide 2, que é 4.

Em uma "curva", porém, a inclinação é uma variável (tem valores diferentes em pontos diferentes) porque a linha se dobra. Mas se a curva fosse cortada em pedaços muito, muito pequenos, a curva no ponto pareceria quase uma linha reta muito curta. Assim, para trabalhar sua inclinação, uma linha reta pode ser traçada através do ponto com a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Se for feita exatamente como deve ser, a reta terá a mesma inclinação da curva, e é chamada de tangente. Mas não há como saber (sem cálculo) se a tangente é exatamente correta, e nossos olhos não são suficientemente precisos para ter certeza se ela é exata ou simplesmente muito próxima.

O que Newton e Leibniz encontraram foi uma maneira de trabalhar a inclinação (ou a velocidade no exemplo da distância) exatamente usando regras simples e lógicas. Eles dividiram a curva em um número infinito de peças muito pequenas. Eles então escolheram pontos de cada lado do ponto em que estavam interessados e trabalharam tangentes em cada um deles. medida que os pontos se aproximavam do ponto em que estavam interessados, a inclinação se aproximava de um valor particular à medida que as tangentes se aproximavam da inclinação real da curva. Eles disseram que este valor em particular que se aproximava era a inclinação real.

Em uma curva, dois pontos diferentes têm inclinações diferentes. As linhas vermelha e azul são tangentes à curva.

Como funciona

Digamos que temos uma função y = f(x). f é a abreviação de função, portanto esta equação significa "y é uma função de x". Isto nos diz que a altura de y no eixo vertical depende do que x (o eixo horizontal) é naquele momento. Por exemplo, com a equação y = x², sabemos que se x é 1, então y será 1; se x é 3, então y será 9; se x é 20, então y será 400.

Escolha um ponto A na curva, e chame sua posição horizontal x. Depois escolha outro ponto B na curva que esteja um pouco mais distante que A, e chame sua posição horizontal x + h. Não importa o quanto h é, é um número muito pequeno.

Assim, quando passamos do ponto A para o ponto B, a posição vertical passou de f(x) para f(x + h), e a posição horizontal passou de x para x + h. Agora lembre-se que a inclinação é o quanto ela sobe dividido pelo quanto ela atravessa. Portanto, a inclinação será:

f ( x + h ) - f ( x ) h {\frac {f(x+h)-f(x)}}{h}} ${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Se você aproximar B cada vez mais de A - o que significa que h se aproxima cada vez mais de 0 - então nós nos aproximamos de saber qual é a inclinação no ponto A.

lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h {\i1} h {\i1}lim _{\i1}frac {\i(x+h)-f(x)}{h}}{\i1}f $\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Agora vamos voltar a y = x². A inclinação disto pode ser determinada da seguinte forma:

= lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h = lim h → 0 ( x + h ) 2 - ( x ) 2 h {\\i1}displaystyle {\i}&=\lim _{h{h{h{rightarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}lim _{h{h{h{rightarrow 0}{frac {(x+h)^{2}-(x)^{2}{h}}end{alinhado}}} ${\begin{aligned}&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-(x)^{2}}{h}}\end{aligned}}$

Aplicando o teorema binomial que declara ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}} $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ podemos reduzir a

= lim h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 h = lim h → 0 2 x h + h 2 h = lim h → 0 2 x + h = 2 x {\\\\i1}}- estilo de exibição {\i}&=\lim _{h=lim _{h=rightarrow 0}{frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}lim _{h=rightarrow 0}{frac {2xh+h^{2}}{h}&=lim _h=rightarrow 0}{h=2x+h=frac {h=end{alinhado}} ${\begin{aligned}&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}2x+h\\&={\frac {}{}}2x\end{aligned}}$

Portanto, sabemos sem ter que traçar nenhuma linha tangente que em qualquer ponto da curva f(x) = x², a derivada f'(x) (marcada com um apóstrofo) será 2x em qualquer ponto. Este processo de trabalhar uma inclinação usando limites é chamado de diferenciação, ou seja, encontrar a derivada.

Leibniz chegou ao mesmo resultado, mas chamado de h "dx", que significa "uma pequena quantidade de x". Ele chamou a mudança resultante em f(x) "dy", que significa "uma quantidade minúscula de y". A notação de Leibniz é usada por mais livros porque é fácil de entender quando as equações se tornam mais complicadas. Na notação de Leibniz:

d y d x = f ′ ( x ) {\i} {\i1}=f'(x)}=f'(x)} ${\frac {dy}{dx}}=f'(x)$

Uma foto mostrando o que x e x + h significam na curva.

Regras

Usando o sistema acima, os matemáticos elaboraram regras que funcionam o tempo todo, não importa qual função esteja sendo examinada. (Nota: aqui, u {\displaystyle u} $u$ e v {\displaystyle v} $v$ são ambas funções de x {\displaystyle x} )

Condição	Função	Derivado	Exemplo	Derivado
Um número por si só	y = um estilo de jogo y=a} $y=a$	d y d x = 0 {\frac {\dx}}=0} ${\frac {dy}{dx}}=0$	y = 3 {\\i1}displaystyle y=3} $y=3$	0 {\i1}0 {\i1}displaystyle $0$
Uma linha reta	y = m x + c {\\\i1}displaystyle y=mx+c} $y=mx+c$	d y d x = m {\i1}m {\i}=m ${\frac {dy}{dx}}=m$	y = 3 x + 5 {\\\i1}displaystyle y=3x+5} $y=3x+5$	3 Estilo de jogo 3 $3$
x ao poder de um número	x a ^{\a}} $x^{a}$	d y d x = a x a - 1 {\an8}=ax^{a-1}}d y x = a x a - 1 {\an8}displaystyle {\an8}{\an8}=ax^{\an8} ${\frac {dy}{dx}}=ax^{a-1}$	x 12 ^{12}} $x^{12}$	12 x 11 {\a10} {\a10} 12x^{\a10} $12x^{11}$
Um número multiplicado por uma função	y = c ⋅ u {\i1}displaystyle y=c\cdot u} $y=c\cdot u$	d y d d x = c d u d x {\i1}{dx}}=c{\i1}frac {dx}}=c{\i}frac {du}{dx}} ${\frac {dy}{dx}}=c{\frac {du}{dx}}$	y = 3 ( x 2 + x ) {\\i1}displaystyle y=3(x^{2}+x)} $y=3(x^{2}+x)$	3 ( 2 x + 1 ) {\i1}displaystyle 3(2x+1)} $3(2x+1)$
Uma função mais outra função	y = u + v {\\i1}displaystyle y=u+v $y=u+v$	d y d x = d u d x + d d v d x x estilo de exibição {dx}={dfrac {du}{dx}+{dfrac {dv}{dx}}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}$	y = 3 x 2 + x {\\i1}}- estilo de jogo y=3x^{\i}+{\i}{\i}} $y=3x^{2}+{\sqrt {x}}$	6 x + 1 x 6x+frac {{1}{sqrt {x}}}} $6x+{\frac {1}{\sqrt {x}}}$
Uma função menos outra função	y = u - v {\\i1}displaystyle y=u-v} $y=u-v$	d y d x = d u d x - d d v d x x estilo de jogo {dx}={dfrac {dx}={dfrac {du}-{dx}-{drac {dx}}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{dx}}$	y = 3 x 2 - x {\\i1}-{\i1}-{\i}- x x x $y=3x^{2}-{\sqrt {x}}$	6 x - 1 x 6x-{\frac {\sqrt {x}}}} $6x-{\frac {1}{\sqrt {x}}}$
Função Regra do produtoA multiplicada por outra função	y = u ⋅ v {\i1}displaystyle y=u\cdot v} $y=u\cdot v$	d y d x = d u d x v + u d v d x x estilo de exibição {dx}={dxfrac {du}{dx}}v+u{dx}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}v+u{\frac {dv}{dx}}$	y = ( x 2 + x + 2 ) ( 3 x - 1 ) {\\i1} {\i1}displaystyle y=(x^{2}+x+2)(3x-1)} $y=(x^{2}+x+2)(3x-1)$	( 3 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) + 3 ( x 2 + x + 2 ) {\displaystyle (3x-1)(2x+1)+3(x^{2}+x+2)} $(3x-1)(2x+1)+3(x^{2}+x+2)$
Quociente Função RuleA dividida por outra função	y = u v v {\i1}displaystyle y={\i}{v}} $y={\frac {u}{v}}$	d y d x = d u d x v - u d d v d x v 2 {\i1}{\i1}={\i1}d y = d u d x v - u d v d x v 2 {\i}{\i1}drac {\i}={\i1}v-u{\i}frac {\i}}{v^{2}}}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {{\frac {du}{dx}}v-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}$	y = x 2 + 2 x - 1 {\a2}} ={x^{2}+2}{x-1}}} $y={\frac {x^{2}+2}{x-1}}$	2 x ( x - 1 ) - ( x 2 + 2 ) ( x - 1 ) 2 {\frac {2x(x-1)-(x^{2}+2)}{(x-1)^{2}}}} ${\frac {2x(x-1)-(x^{2}+2)}{(x-1)^{2}}}$
Regra da cadeiaUsado para funções compostas	y = u ∘ v {\\i1}displaystyle y=u=u=circ v} $y=u\circ v$	d y d x = d y d u ⋅ d u d d x xdisplaystyle {dx}}={dfrac {ddcdot {dcdot {dcdot {dx}} ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	y = 2 x - 1 {\\i1}}displaystyle y={\i}{\i}{\i1x-1}} $y={\sqrt {2x-1}}$	2 2 2 x - 1 = 1 2 x - 1 {\\i1}{\i1}frac {\i1}{\i1}2x-1}}}}={\i1}frac {\i}{\i1}{\i1}sqrt {\i1}2x-1}}}} ${\frac {2}{2{\sqrt {2x-1}}}}={\frac {1}{\sqrt {2x-1}}}$
Uma função exponencial	y = e x {\frac {}{}y=e^{x}} ${\frac {}{}}y=e^{x}$	d y d x = e x {\i1}}displaystyle {\i}{dx}}=e^{x}} ${\frac {dy}{dx}}=e^{x}$	y = e x {\frac {}{}y=e^{x}} ${\frac {}{}}y=e^{x}$	e x estilo de jogo ^^e^{x}} ${\frac {}{}}e^{x}$

Perguntas e Respostas

P: O que é cálculo diferencial?

R: Cálculo diferencial é um ramo do cálculo que estuda a taxa de variação de uma variável em relação a outra variável, usando funções.

P: Como funciona?

R: O cálculo diferencial nos permite descobrir como uma forma muda de um ponto para outro sem precisar dividir a forma em um número infinito de peças.

P: Quem desenvolveu o cálculo diferencial?

R: O cálculo diferencial foi desenvolvido nos anos de 1670 e 1680 por Sir Isaac Newton e Gottfried Leibniz.

P: O que é cálculo integral?

R: Cálculo integral é o oposto de cálculo diferencial. Ele é usado para encontrar áreas sob curvas e volumes de sólidos com superfícies curvas.

P: Quando foi desenvolvido o cálculo diferencial?

R: O cálculo diferencial foi desenvolvido nos anos 1670 e 1680 por Sir Isaac Newton e Gottfried Leibniz.

P: Quais são algumas aplicações do cálculo diferencial?

R: Algumas aplicações do cálculo diferencial incluem o cálculo de velocidade, aceleração, valores máximos ou mínimos, problemas de otimização, campos de inclinação, etc.

P: Por que usamos o cálculo diferencial em vez de dividir as formas em um número infinito de peças?

R: Usamos o cálculo diferencial porque ele nos permite descobrir como uma forma muda de um ponto para outro sem precisar dividir a forma em um número infinito de peças.