Cálculo diferencial

Ao contrário de um número como 5 ou 200, uma variável pode mudar seu valor. Por exemplo, a distância e o tempo são variáveis. Em uma corrida olímpica, à medida que a pessoa corre, sua distância da linha de partida sobe. Enquanto isso, um cronômetro ou relógio mede o tempo à medida que ele sobe. Podemos medir a velocidade média do corredor se dividirmos a distância que ele percorreu pelo tempo que levou. Mas isto não diz a velocidade em que a pessoa estava correndo exatamente a 1,5 segundos da corrida. Se tivéssemos a distância a 1 segundo e a distância a 2 segundos, ainda teríamos apenas uma média, embora provavelmente fosse mais correta do que a média para toda a corrida.

Até que o cálculo fosse inventado, a única maneira de resolver isso era cortar o tempo em pedaços cada vez menores, de modo que a velocidade média ao longo do tempo menor se aproximaria cada vez mais da velocidade real com exatamente 1,5 segundos. Este era um processo muito longo e difícil e tinha que ser feito cada vez que as pessoas quisessem resolver alguma coisa. Imagine um motorista tentando descobrir a velocidade de um carro usando apenas seu odômetro (medidor de distância) e relógio, sem um velocímetro!

Um problema muito semelhante é encontrar a inclinação (quão íngreme é) em qualquer ponto de uma curva. A inclinação de uma linha reta é fácil de trabalhar - é simplesmente o quanto ela sobe (y ou vertical) dividido pelo quanto ela atravessa (x ou horizontal). Se uma linha é paralela ao eixo x, então sua inclinação é zero. Se uma linha reta atravessou (x,y) = (2,10) e (4,18), a linha sobe 8 e atravessa 2, então sua inclinação é 8 divide 2, que é 4.

Em uma "curva", porém, a inclinação é uma variável (tem valores diferentes em pontos diferentes) porque a linha se dobra. Mas se a curva fosse cortada em pedaços muito, muito pequenos, a curva no ponto pareceria quase uma linha reta muito curta. Assim, para trabalhar sua inclinação, uma linha reta pode ser traçada através do ponto com a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Se for feita exatamente como deve ser, a reta terá a mesma inclinação da curva, e é chamada de tangente. Mas não há como saber (sem cálculo) se a tangente é exatamente correta, e nossos olhos não são suficientemente precisos para ter certeza se ela é exata ou simplesmente muito próxima.

O que Newton e Leibniz encontraram foi uma maneira de trabalhar a inclinação (ou a velocidade no exemplo da distância) exatamente usando regras simples e lógicas. Eles dividiram a curva em um número infinito de peças muito pequenas. Eles então escolheram pontos de cada lado do ponto em que estavam interessados e trabalharam tangentes em cada um deles. medida que os pontos se aproximavam do ponto em que estavam interessados, a inclinação se aproximava de um valor particular à medida que as tangentes se aproximavam da inclinação real da curva. Eles disseram que este valor em particular que se aproximava era a inclinação real.

Digamos que temos uma função y = f(x). f é a abreviação de função, portanto esta equação significa "y é uma função de x". Isto nos diz que a altura de y no eixo vertical depende do que x (o eixo horizontal) é naquele momento. Por exemplo, com a equação y = x², sabemos que se x é 1, então y será 1; se x é 3, então y será 9; se x é 20, então y será 400.

Escolha um ponto A na curva, e chame sua posição horizontal x. Depois escolha outro ponto B na curva que esteja um pouco mais distante que A, e chame sua posição horizontal x + h. Não importa o quanto h é, é um número muito pequeno.

Assim, quando passamos do ponto A para o ponto B, a posição vertical passou de f(x) para f(x + h), e a posição horizontal passou de x para x + h. Agora lembre-se que a inclinação é o quanto ela sobe dividido pelo quanto ela atravessa. Portanto, a inclinação será:

f ( x + h ) - f ( x ) h {\frac {f(x+h)-f(x)}}{h}}

Se você aproximar B cada vez mais de A - o que significa que h se aproxima cada vez mais de 0 - então nós nos aproximamos de saber qual é a inclinação no ponto A.

lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h {\i1} h {\i1}lim _{\i1}frac {\i(x+h)-f(x)}{h}}{\i1}f

Agora vamos voltar a y = x². A inclinação disto pode ser determinada da seguinte forma:

= lim h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h = lim h → 0 ( x + h ) 2 - ( x ) 2 h {\\i1}displaystyle {\i}&=\lim _{h{h{h{rightarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}lim _{h{h{h{rightarrow 0}{frac {(x+h)^{2}-(x)^{2}{h}}end{alinhado}}}

Aplicando o teorema binomial que declara ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}} podemos reduzir a

= lim h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 h = lim h → 0 2 x h + h 2 h = lim h → 0 2 x + h = 2 x {\\\\i1}}- estilo de exibição {\i}&=\lim _{h=lim _{h=rightarrow 0}{frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}lim _{h=rightarrow 0}{frac {2xh+h^{2}}{h}&=lim _h=rightarrow 0}{h=2x+h=frac {h=end{alinhado}}

Portanto, sabemos sem ter que traçar nenhuma linha tangente que em qualquer ponto da curva f(x) = x², a derivada f'(x) (marcada com um apóstrofo) será 2x em qualquer ponto. Este processo de trabalhar uma inclinação usando limites é chamado de diferenciação, ou seja, encontrar a derivada.

Leibniz chegou ao mesmo resultado, mas chamado de h "dx", que significa "uma pequena quantidade de x". Ele chamou a mudança resultante em f(x) "dy", que significa "uma quantidade minúscula de y". A notação de Leibniz é usada por mais livros porque é fácil de entender quando as equações se tornam mais complicadas. Na notação de Leibniz:

d y d x = f ′ ( x ) {\i} {\i1}=f'(x)}=f'(x)}

Usando o sistema acima, os matemáticos elaboraram regras que funcionam o tempo todo, não importa qual função esteja sendo examinada. (Nota: aqui, u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} são ambas funções de x {\displaystyle x} )