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Integral

Autor: Leandro Alegsa

18-12-2020

Em cálculo, um integral é o espaço sob um gráfico de uma equação (por vezes dito como "a área sob uma curva"). Um integral é o inverso de um derivado e é o oposto de cálculo diferencial. Uma derivada é a inclinação (ou "declive"), como a taxa de variação, de uma curva. A palavra "integral" também pode ser usada como um adjectivo que significa "relacionado com inteiros".

Este símbolo foi utilizado pela primeira vez por Gottfried Wilhelm Leibniz, que o utilizou como um "ſ" estilizado. (para soma, latim para soma) para significar a soma da área coberta por uma equação, tal como y = f(x).

Os integrais e derivados fazem parte de um ramo da matemática chamado cálculo. A ligação entre estes dois é muito importante, e é chamada o Teorema Fundamental do Cálculo. O teorema diz que um integral pode ser revertido por uma derivada, semelhante a como uma adição pode ser revertida por uma subtracção.

A integração ajuda na tentativa de multiplicar unidades num problema. Por exemplo, se um problema com taxa, ( tempo de distância ), ao estilo de exibição à esquerda ( distância ) $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , precisa de uma resposta com uma distância justa, uma solução é integrar no que diz respeito ao tempo. Isto significa multiplicar no tempo para cancelar o tempo em ( tempo à distância ) × tempo ao estilo de exibição à esquerda(esquerda(França)/à direita)/tempo de texto $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Isto é feito através da adição de pequenas fatias do gráfico de taxas. As fatias têm uma largura próxima de zero, mas adicioná-las para sempre faz com que se somem a um todo. A isto chama-se um Riemann Sum.

A adição destas fatias dá a equação de que a primeira equação é a derivada de. As integrais são como uma forma de juntar muitas coisas minúsculas à mão. É como a soma, que é adicionar 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4 ....+n} $1+2+3+4....+n$ . A diferença com a integração é que também temos de adicionar todas as casas decimais e fracções entre elas.

Outra integração temporal é útil quando se encontra o volume de um sólido. Pode acrescentar fatias bidimensionais (sem largura) do sólido para sempre até que haja uma largura. Isto significa que o objecto tem agora três dimensões: as duas originais e uma largura. Isto dá o volume do objecto tridimensional descrito.

Métodos de integração

Antiderivado

Pelo teorema fundamental do cálculo, o integral é o antiderivado.

Se assumirmos a função 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ por exemplo, e anti-diferenciá-lo, podemos dizer que uma parte integral de 2 x estilo de jogo 2x $2x$ é x 2 x estilo de jogo x^{2}}. $x^{2}$ . Dizemos um integral, não o integral, porque o antiderivado de uma função não é único. Por exemplo, x 2 + 17 ^{\\i1}explica o estilo x^{\i}+17} $x^{2}+17$ também se diferencia de 2 x ^{\i1}explica o estilo 2x} $2x$ . Devido a isto, ao tomar o antiderivado deve ser adicionado um C constante. A isto chama-se um integral indefinido. Isto porque ao encontrar a derivada de uma função, as constantes são iguais a 0, como na função

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Note o 0: não podemos encontrá-lo se tivermos apenas a derivada, portanto a integral é

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\i1}displaystyle \i}int (10x+9)\i,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Equações simples

Uma equação simples como y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ pode ser integrada com respeito a x usando a seguinte técnica. Para integrar, acrescenta-se 1 ao poder x, e depois divide-se x pelo valor deste novo poder. Portanto, a integração de uma equação normal segue esta regra: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

O d x {\displaystyle dx} $dx$ no final é o que mostra que estamos a integrar com respeito a x, ou seja, como x muda. Isto pode ser visto como o inverso da diferenciação. No entanto, há uma constante, C, acrescentada quando se integra. A isto chama-se a constante de integração. Isto é necessário porque a diferenciação de um número inteiro resulta em zero, pelo que integrar zero (que pode ser colocado no fim de qualquer integrando) produz um número inteiro, C. O valor deste número inteiro seria encontrado através da utilização de determinadas condições.

As equações com mais de um termo são simplesmente integradas integrando cada termo individual:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\\i1}\i1}-int _{\i1,^{\i}{\i1}displaystylex^{2}+3x-2dx=int _{\\,}x^{\2}dx+int _{\,^,^3xdx-int _{\,^,^2}2dx={\3}+{\3x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integração envolvendo o e e ln

Existem certas regras de integração utilizando o e e e o logaritmo natural. O mais importante, e x {\\i1} é o e^{x} $e^{x}$ é o integral de si mesmo (com a adição de uma constante de integração): ∫ e x d x = e x + C {\i}displaystyle {\i}int _{\i,^,^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

O logaritmo natural, ln, é útil ao integrar equações com 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Estas não podem ser integradas utilizando a fórmula acima (adicionar uma à potência, dividir pela potência), porque adicionar uma à potência produz 0, e uma divisão por 0 não é possível. Em vez disso, o integral de 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ é ln x {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle 1/x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle {\drac {1}dx=ln x+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

De uma forma mais geral: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle |int _{\,}{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}dx=\ln {|f(x)|+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

As duas barras verticais indicavam um valor absoluto; o sinal (positivo ou negativo) de f ( x ) f(x)} f(x) é ignorado. Isto porque não há valor para o logaritmo natural dos números negativos.

Imóveis

Soma das funções

O integral de uma soma de funções é a soma do integral de cada função. isto é,

∫ a b b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\i1}d x estilo de jogo _{a}^{b}[f(x)+g(x)]},dx=int {a}^{b}f(x)^,dx+int {a} {a}^{b}g(x)x,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

A prova disto é simples: A definição de um integral é um limite de somas. Assim,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) estilo de jogo com limites _{a}^{b}[f(x)+g(x)]^,dx=limite _{n=to de grande soma _{i=1}{n}{esquerda(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}){direita)+g(x_{*) $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\i} {\i1}g(x_{\i}^{\i}^1}g(x_{\i}^{\i}) $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\i1}displaystyle ={\i}lim _{\i=1}g(x_{i}^1}^{\i}}f(x_{i}^{*})+lim _{\i=1}g(x_{i}^{\i}}g(x_{*})}g $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\i1}displaystyle ==int=int=limites _{a}^{b}f(x)^,dx+int=int=limites _{a}^{b}g(x)^,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Note-se que ambos os integrais têm os mesmos limites.

Constantes na integração

Quando uma constante está numa integral com uma função, a constante pode ser tirada. Além disso, quando uma constante c não é acompanhada por uma função, o seu valor é c * x. Isto é,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\i1}displaystyle {a}int _{b}cf(x)},dx=cint {a}c=cint {a}^{b}f(x)^,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ and

Isto só pode ser feito com uma constante.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\i1}displaystyle {{a}^{b}c,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

A prova é de novo pela definição de um integral.

Outros

Se a, b e c estiverem em ordem (isto é, um após o outro no eixo x), a integral de f(x) do ponto a ao ponto b mais a integral de f(x) do ponto b ao c é igual à integral do ponto a ao c. Isto é,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\i1}displaystyle {a}int {b}f(x)^,dx+int {b}^{c}f(x)^,dx=int {a}c=int {c}f(x)^,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ se estiverem em ordem. (Isto também se aplica quando a, b, c não estão em ordem se definirmos ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\i1}displaystyle {a}^{b}f(x)},dx=-int {b}^{a}f(x)x} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\i1}displaystyle {a}^{a}f(x)^,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Isto segue o teorema fundamental do cálculo (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\i1}displaystyle _{a}^{b}f(x)^,dx=-int {b}^{a}f(x)^,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Mais uma vez, seguindo a FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\i1 F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Perguntas e Respostas

P: O que é uma parte integrante?

R: Um integral é o espaço sob um gráfico de uma equação, também conhecido como "a área sob uma curva". É o inverso de uma derivada e parte de um ramo da matemática chamado cálculo.

P: Como é o símbolo da integração?

R: O símbolo para integração em cálculo parece uma letra "S" alta: ∫ {\\i1}displaystyle {\i}int _{\i}^{\i1}displaystyle

P: Como as integrais estão relacionadas com os derivativos?

R: Integrais e derivados estão ligados pelo teorema fundamental do cálculo que diz que um integral pode ser revertido por um derivado, semelhante a como uma adição pode ser revertida por subtração.

P: Quando se pode usar a integração?

R: A integração pode ser usada quando se tenta multiplicar unidades em um problema ou quando se encontra o volume de um sólido. Ela ajuda a juntar fatias bidimensionais até que haja largura, dando ao objeto três dimensões e seu volume.

P: Como a integração é semelhante à soma?

R: A integração é semelhante à soma, na medida em que acrescenta muitas pequenas coisas juntas, mas com a integração temos que acrescentar também todas as casas decimais e frações no meio.

P: O que significa a soma de Riemann?

R: Uma soma de Riemann se refere à soma de pequenas fatias do gráfico de taxas até que elas se somem para formar uma equação inteira.