A antidiferenciação

A antidiferenciação (também chamada de integração indefinida) é uma coisa feita em matemática. É o oposto de diferenciação.

Os antiferivados podem lhe falar sobre o tamanho de uma maneira geral. A antidiferenciação é feita em coisas como equações. A antidiferenciação lhe dá uma coisa chamada antiderivante. Um antiderivado é outro tipo de equação. A antidiferenciação é como a integração com, mas sem limites. É por isso que é chamada de indefinida.

Um antiderivado é escrito como ∫ x d x dx {\displaystyle \int x\ dx}

Integração simples

Para integrar um eixo ao estilo x n {n }} {\displaystyle ax^{n}}

  • Adicionar 1 ao poder n {\i1}displaystyle n nentão um eixo estilo x n ^{n}} {\displaystyle ax^{n}}é agora um eixo estilo x n + 1 ^{n+1}} {\displaystyle ax^{n+1}}
  • Dividir tudo isso pelo novo poder, então agora é um x n + 1 n + 1 {\i1}}{n+1}{n+1}{n+1}}displaystyle {\i}frac {n+1} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}
  • Adicionar constante c {\i1}{n+1}{n+1}+c}{\displaystyle c}, então agora é um x n + 1 n + 1 + c {\i}displaystyle {\i}{n+1}{n+1}+c} {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Isto pode ser mostrado como:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\i1}{\i1}}dx={\i1}frac {\i}{n+1}}{n+1}+c} {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Quando há muitos xtermos no estilo "x", integrar cada parte por si só:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\\i1}-x^{6}-5x^{4}}} dx={\i1}frac {2x^{7}}{7}-{\i}-{\i1}frac {5x^{5}}+c={\i1}frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c} {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{4}\ dx={\frac {2x^{7}}{7}}-{\frac {5x^{5}}{5}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}+c}

(Isto só funciona se as peças estiverem sendo adicionadas ou retiradas).

Exemplos

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\i1}}displaystyle {\i}int 3x^{4}} dx={\i1}frac {3x^{5}}+c} {\displaystyle \int 3x^{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}+c}

∫ x + x 2 + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\i1}{\i1}}int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}}} dx={\i1}frac {x^{2}}{2}}+{\i}+{\i1}frac {x^{3}}+{\i}{\i1}{4}+{\i}frac {x^{5}}+c} {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\\i1}{x+4}}}dx==ln |x+4||vezes 1+c=\i |x+4|+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}\ dx=\ln |x+4|\times 1+c=\ln |x+4|+c}

A transformação de frações e raízes em poderes facilita a tarefa:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\i1}{x^{3}}}} dx=int x^{-3}} dx={\i1}frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\i1}{2x^{2}}+c} {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{3}}}\ dx=\int x^{-3}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\i1}}displaystyle {\i}}int {\i}{x^{\i}}} dx=int x^frac {3}{2}} dx={x^frac {x^frac {5}{2}}{frac {5}+c={frac {2}{5}}x^frac {5}{2}+c={5}}+c={frac {2}{5}{5}}{sqrt {x^{5}}+c} {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{2}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+c={\frac {2}{5}}x^{\frac {5}{2}}+c={\frac {2}{5}}{\sqrt {x^{5}}}+c}

Integrando um suporte ("regra da corrente")

Se você quiser integrar um parêntese como ( 2 x + 4 ) 3 ^{\i1}- estilo de exibição (2x+4)^{3}}} {\displaystyle (2x+4)^{3}}precisamos fazer isso de uma maneira diferente. É a chamada regra da corrente. É como a simples integração. Ela só funciona se o x xno parêntese tiver uma potência de 1 (é linear) como x no parêntese x xou 5 x no parêntese 5x. {\displaystyle 5x}(não x 5 ^{{5}} {\displaystyle x^{5}}ou x - 7 ^{-7}} ). {\displaystyle x^{-7}}

Para fazer ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x estilo de exibição (2x+4)^{3} dx} {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

  • Adicionar 1 ao poder 3 {\i1}{\displaystyle 3}, de modo que agora é ( 2 x + 4 ) 4 ^{\i1}- estilo de exibição (2x+4)^{4}} {\displaystyle (2x+4)^{4}}
  • Dividir tudo isso pelo novo poder de obter ( 2 x + 4 ) 4 4 4 {\frac {(2x+4)^{4}}}{4}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}
  • Dividir tudo isso pela derivada do parêntese ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\i1} {\i1}esquerda(2x+4) {\i}=2 {\i}=direita {\displaystyle \left({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\right)}para obter ( 2 x + 4 ) 4 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\frac ^{(2x+4)^{4}}{4 vezes 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}} {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\times 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}
  • Adicionar constante c {\i1}{\i1}(2x+4}+c} {\displaystyle c}para dar 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\i1}{\i}{\i1}(2x+4}+c} {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Exemplos

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\i1}displaystyle {\i}int (x+1)^{5}{5} dx={frac {(x+1)^{6}{6 vezes 1}}+c={frac {1}(x+1)^{6}(x+1)^{6}+c=esquerda(porque ^frac {d(x+1){d(x+1){dx}=1=direita)^1} {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\times 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\left(\because {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\right)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\i1}{(7x+12)^{9}}}{(7x+12)^{-9}} dx={\frac {(7x+12)^{-8}{-8 vezes 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}+c=esquerda(porque {\frac {d(7x+12){dx}=7 direita){dx} {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x+12)^{9}}}\ dx=\int (7x+12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\times 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\left(\because {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\right)}

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