Exponenciação

Exponenciação (potência) é uma operação aritmética sobre números. É uma multiplicação repetida, tal como a multiplicação é uma adição repetida. As pessoas escrevem a exponenciação com índice superior. Isto parece-se com o seguinte: x y ^{\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ . Outros métodos de notação matemática têm sido utilizados no passado. Quando se escreve com equipamento que não pode utilizar o índice superior, as pessoas escrevem poderes usando os sinais ^ ou **, portanto 2^3 ou 2***3 significa 2 3 ^{\displaystyle 2^{3}}}. $2^{3}$ .

O número x estilo x é chamado base, e o número y estilo y é chamado expoente. Por exemplo, em 2 3 ^2 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 $2^{3}$ 2 é a base e 3 é o expoente.

Para calcular 2 3 $2^{3}$ ^2 ^3 ^3 ^2 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 Assim, 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ^{\i1}displaystyle 2^{\i1}=2cdot 2 ^cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . O resultado é 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2 {\displaystyle 2 {\displaystyle 2 {\displaystyle 2 {\displaystyle 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . A equação poderia ser lida em voz alta desta forma: 2 elevado à potência de 3 é igual a 8.

Exemplos:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{\3}=5\cdot {}5{\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x ^{\\i1}=x{\i}xcdot {\i}x $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\a1}=1} $1^{x}=1$ para cada número x

Se o expoente é igual a 2, então o poder é chamado quadrado porque a área de um quadrado é calculada usando um 2 ^{\i}} estilo de jogo a^{\i} $a^{2}$ . Por isso

x 2 $x^{2}$ ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2 ^2

Se o expoente é igual a 3, então a potência é chamada de cubo porque o volume de um cubo é calculado usando um 3 ^{\i1}displaystyle a^{\i}} $a^{3}$ . Por isso

x 3 ^3 ^3 ^3 $x^{3}$ ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3 ^3

Se o expoente for igual a -1, então a pessoa deve calcular o inverso da base. Assim,

x - 1 = 1 x ^{-1}={\i1}={\i1}{\i1}{\i1}{\i1}}x - 1 = 1 x ^{\i}displaystyle x^{-1}={\i}frac $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Se o expoente for um número inteiro e for inferior a 0, então a pessoa deve inverter o número e calcular a potência. Por exemplo:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 Estilo de jogo 2^{-3}=esquerda(1 ^frac ^{1}{2}}direita)^{3}={frac ^{1}{8}}}{8}}}esquerda $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Se o expoente for igual a 1 2 {\i1}{\i1}{\i1}{\i1} ${\frac {1}{2}}$ , então o resultado da exponenciação é a raiz quadrada da base. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Exemplo:

4 1 2 = 4 = 2 {\i1}{\i1}={\i1}={\i1}= 4 1 2 = 4 = 2 {\i1} 4 ^frac {\i}= 2 $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Da mesma forma, se o expoente for 1 n {\i1}{\i1} ${\frac {1}{n}}$ , o resultado é a enésima raiz, portanto:

a 1 n = a n ^frac {1}{n}={sqrt[{n}]{a}}}={sqrt[{n}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Se o expoente for um número racional p q q q qfrac {p}{q}}} ${\frac {p}{q}}$ o resultado é a qth raiz da base elevada ao poder de p, portanto:

a p q = a p q ^{\i1}{\i}{q}}={\iqrt[q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

O expoente pode até não ser racional. Para elevar uma base a a uma x potência irracional, utilizamos uma sequência infinita de números racionais (xi), cujo limite é x:

x = lim n → ∞ x n {\i1}displaystyle x==lim _{\i}x_{\i}}x_{\i} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

assim:

a x = lim n → ∞ a x n {\a^{x}=lim _{n=to {n=infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Existem algumas regras que ajudam a calcular os poderes:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\i1}esquerda(a) b^{n}=a^{n}cdot ^b^{n}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\i1}displaystyle {\i1}left(a)(b}{\i1}{\i1}direita)^{n}={\i1}frac {a^{n}{b^{n},{\i}quad bneq 0 $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s a^{r}cdot ^a^{s}=a^{r+s}}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\i1}{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s},|quad a a aq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\i1}{\i1}={\i1}{a^{\i},{\i1}quad a aq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\i1} s Esquerda(a^{r}direita)^=a^{r=cdot s}}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\a10}=1}a^{0}=1} $a^{0}=1$

É possível calcular a exponenciação das matrizes. A matriz deve ser quadrada. Por exemplo: I 2 = I ⋅ I = I ^{\\i1}I=I=I=I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Comutatividade

Tanto a adição como a multiplicação são comutativas. Por exemplo, 2+3 é o mesmo que 3+2; e 2 - 3 é o mesmo que 3 - 2. Embora a exponenciação seja repetida multiplicação, não é comutativa. Por exemplo, 2³=8 mas 3²=9.

Operações Invertidas

A adição tem uma operação inversa: subtracção. Além disso, a multiplicação tem uma operação inversa: divisão.

Mas a exponenciação tem duas operações inversas: A raiz e o logaritmo. Este é o caso porque a exponenciação não é comutativa. Isto pode ser visto neste exemplo:

Se tiver x+2=3, então pode usar a subtracção para descobrir que x=3-2. Isto é o mesmo se tiver 2+x=3: Também obtém x=3-2. Isto é porque x+2 é o mesmo que 2+x.
${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Isto é porque x - 2 é o mesmo que 2 - x
Se tiver x²=3, então usa a raiz (quadrada) para descobrir x: Obtém o resultado x = 3 2 {\\sqrt[{\sqrt[{\sqrt]{3}}}}}}. ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . No entanto, se tiver 2x=3, então não pode usar a raiz para descobrir x. Em vez disso, tem de usar o logaritmo (binário) para descobrir x: Obtém o resultado x=log2(3).

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Perguntas e Respostas

P: O que é exponenciação?

R: Exponenciação é uma operação aritmética sobre números que podem ser considerados como multiplicação repetida.

P: Como é escrita a exponenciação?

R: Exponenciação é geralmente escrita como x^y, onde x é a base e y é o expoente. Também pode ser escrita usando os sinais ^ ou **, tais como 2^4 ou 2***4.

P: Quais são alguns exemplos de exponenciação?

R: Exemplos de exponenciação incluem 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 para cada número x; e 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

P: O que significa quando o expoente é igual a -1?

R: Quando o expoente é igual a -1, então o poder é simplesmente o recíproco da base (x^(-1) = 1/x).

P: Como o senhor calcula um poder irracional de uma base?

R: Para elevar uma base a a um poder irracional xth, usamos uma seqüência infinita de números racionais (xn), cujo limite é x (a^x = lim n->infinity a^(x_n)).

P: Há alguma regra que facilite o cálculo dos expoentes?

R: Sim, há várias regras que facilitam o cálculo de expoentes. Estas incluem (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); e assim por diante.