Número

Métodos de numeração

Números para pessoas

Há diferentes maneiras de dar símbolos aos números. Estes métodos são chamados de sistemas de números. O sistema numérico mais comum que as pessoas usam é o sistema básico de dez números. O sistema de número dez básico também é chamado de sistema de número decimal. O sistema de número dez básico é comum porque as pessoas têm dez dedos das mãos e dez dedos dos pés. Existem 10 símbolos diferentes {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9} usados no sistema de numeração base dez. Estes dez símbolos são chamados de dígitos.

Um símbolo para um número é composto por estes dez dígitos. A posição dos dígitos mostra quão grande é o número. Por exemplo, o número 23 no sistema numérico decimal significa realmente (2 vezes 10) mais 3, e 101 significa 1 vezes cem (=100) mais 0 vezes 10 (=0) mais 1 vezes 1 (=1).

Números para máquinas

Outro sistema numérico é mais comum para máquinas. O sistema de número de máquinas é chamado de sistema de número binário. O sistema de número binário também é chamado de sistema de número base dois. Há dois símbolos diferentes (0 e 1) usados no sistema de número básico dois. Estes dois símbolos são chamados de bits.

Um símbolo para um número binário é composto por esses dois símbolos de bits. A posição dos símbolos de bits mostra quão grande é o número. Por exemplo, o número 10 no sistema de número binário significa realmente 1 vezes 2 mais 0, e 101 significa 1 vezes 4 (=4) mais 0 vezes 2 (=0) mais 1 vezes 1 (=1). O número binário 10 é o mesmo que o número decimal 2. O número binário 101 é o mesmo que o número decimal 5.

Nomes de números

O inglês tem nomes especiais para alguns dos números do sistema numérico decimal que são "potências de dez". Todos esses poderes de dez números no sistema de números decimais usam apenas o símbolo "1" e o símbolo "0". Por exemplo, dez dezenas é o mesmo que dez vezes dez, ou cem. Nos símbolos, isto é "10 × 10 = 100". Além disso, dez centenas é o mesmo que dez vezes cem, ou mil. Nos símbolos, isto é "10 × 100 = 10 × 10 × 10 × 10 = 1000". Algumas outras potências de dez números também têm nomes especiais:

• 1 - um
• 10 - dez
• 100 - cem
• 1000 - mil
• 1.000.000 - um milhão

Ao lidar com números maiores que este, há duas maneiras diferentes de nomear os números em inglês. Sob a "escala longa" um novo nome é dado cada vez que o número é um milhão de vezes maior do que o último número nomeado. Também é chamado de "British Standard" (Padrão Britânico). Esta escala costumava ser comum na Grã-Bretanha, mas hoje em dia não é usada com freqüência nos países de língua inglesa. Ela ainda é usada em algumas outras nações européias. Outra escala é a "escala curta" sob a qual um novo nome é dado cada vez que um número é mil vezes maior do que o último número nomeado. Esta escala é muito mais comum na maioria das nações de língua inglesa de hoje.

• 1.000.000.000 - um bilhão (escala curta), um milhar de milhão (escala longa)
• 1.000.000.000.000 - um trilhão (escala curta), um bilhão (escala longa)
• 1.000.000.000.000.000 - um quadrilhão (escala curta), um bilhar (escala longa)

Tipos de números

Números naturais

Os números naturais são os números que normalmente usamos para a contagem, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 etc. Algumas pessoas dizem que 0 também é um número natural.

Outro nome para estes números é números positivos. Estes números são às vezes escritos como +1 para mostrar que eles são diferentes dos números negativos.

Se 0 é chamado de número natural, então os números naturais são os mesmos que os números inteiros. Se 0 não é chamado de número natural, então os números naturais são os mesmos que os números de contagem. Portanto, se as palavras "números naturais" não forem usadas, então haverá menos confusão sobre se o zero está incluído ou não. Mas infelizmente, alguns dizem que zero também não é um número inteiro, e alguns dizem que números inteiros podem ser negativos. "Inteiros positivos" e "inteiros não negativos" são outra forma de incluir zero ou excluir zero, mas somente se as pessoas souberem essas palavras.

Números negativos

Números negativos são números inferiores a zero.

Uma maneira de pensar em números negativos é usar uma linha numérica. Chamamos um ponto nesta linha de zero. Então etiquetaremos (escrevemos o nome de) cada posição na linha pela distância à direita do ponto zero, por exemplo, o ponto um é um centímetro à direita, o ponto dois é dois centímetros à direita.

Agora pense em um ponto que está um centímetro à esquerda do ponto zero. Não podemos chamar este ponto de um, pois já existe um ponto chamado um. Portanto, chamamos este ponto menos 1 (-1) (pois ele está a um centímetro de distância, mas na direção oposta).

Um desenho de uma linha numérica está abaixo.

Todas as operações normais da matemática podem ser feitas com números negativos:

Se as pessoas acrescentam um número negativo a outro, isto é o mesmo que tirar o número positivo com os mesmos numerais. Por exemplo, 5 + (-3) é o mesmo que 5 - 3, e é igual a 2.

Se eles retiram um número negativo de outro é o mesmo que adicionar o número positivo com os mesmos numerais. Por exemplo, 5 - (-3) é o mesmo que 5 + 3, e é igual a 8.

Se eles multiplicam dois números negativos juntos, obtêm um número positivo. Por exemplo, -5 vezes -3 é 15.

Se multiplicarem um número negativo por um número positivo, ou se multiplicarem um número positivo por um número negativo, obtêm um resultado negativo. Por exemplo, 5 vezes -3 é -15.

Como é impossível encontrar a raiz quadrada de um número negativo é impossível, já que vezes negativas são iguais a negativas. Simbolizamos a raiz quadrada de um número negativo como i.

Integers

Os inteiros são todos os números naturais, todos os seus opostos e o número zero. Os números decimais e as frações não são números inteiros.

Números racionais

Os números racionais são números que podem ser escritos como frações. Isto significa que eles podem ser escritos como a divididos por b, onde os números a e b são números inteiros, e b não é igual a 0.

Alguns números racionais, como 1/10, precisam de um número finito de dígitos após o ponto decimal para escrevê-los na forma decimal. O número um décimo é escrito em forma decimal como 0,1. Números escritos com uma forma finita decimal são racionais. Alguns números racionais, como o 1/11, precisam de um número infinito de dígitos após o ponto decimal para escrevê-los na forma decimal. Há um padrão de repetição para os dígitos após o ponto decimal. O décimo primeiro número é escrito na forma decimal como 0,0909090909 ... .

Uma porcentagem poderia ser chamada de número racional, porque uma porcentagem como 7% pode ser escrita como a fração 7/100. Também pode ser escrita como a fração decimal 0,07. Algumas vezes, uma proporção é considerada como um número racional.

Números irracionais

Números irracionais são números que não podem ser escritos como uma fração, mas não têm partes imaginárias (explicado mais tarde).

Números irracionais ocorrem freqüentemente em geometria. Por exemplo, se tivermos um quadrado com lados de 1 metro, a distância entre os cantos opostos é a raiz quadrada de dois, que equivale a 1,414213 ... . Este é um número irracional. Os matemáticos provaram que a raiz quadrada de cada número natural é ou um número inteiro ou um número irracional.

Um número irracional bem conhecido é o pi. Esta é a circunferência (distância ao redor) de um círculo dividida por seu diâmetro (distância através). Este número é o mesmo para cada círculo. O número pi é aproximadamente 3,1415926535 ... .

Um número irracional não pode ser totalmente escrito em forma decimal. Ele teria um número infinito de dígitos após o ponto decimal. Ao contrário de 0,333333 ..., estes dígitos não se repetiriam para sempre.

Números reais

Números reais é um nome para todos os conjuntos de números listados acima:

• Os números racionais, incluindo números inteiros
• Os números irracionais

Estes são todos os números que não envolvem números imaginários.

Números imaginários

Os números imaginários são formados por números reais multiplicados pelo número i. Este número é a raiz quadrada de menos um (-1).

Não há nenhum número nos números reais que, ao quadrado, faz o número -1. Portanto, os matemáticos inventaram um número. Eles chamaram este número de i, ou a unidade imaginária.

Os números imaginários operam sob as mesmas regras que os números reais:

• A soma de dois números imaginários é encontrada retirando (factoring out) o i. Por exemplo, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• A diferença de dois números imaginários é encontrada de forma semelhante. Por exemplo, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Ao multiplicar dois números imaginários, lembre-se de que i × i (i2) é -1. Por exemplo, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Os números imaginários foram chamados de imaginários porque, quando foram encontrados pela primeira vez, muitos matemáticos achavam que não existiam. ^[] A pessoa que descobriu os números imaginários foi Gerolamo Cardano nos anos 1500. O primeiro a usar as palavras número imaginário foi René Descartes. As primeiras pessoas a usar estes números foram Leonard Euler e CarlFriedrich Gauss. Ambos viveram no século XVIII.

Números complexos

Números complexos são números que têm duas partes; uma parte real e uma parte imaginária. Cada tipo de número escrito acima é também um número complexo.

Os números complexos são uma forma mais geral de números. Os números complexos podem ser desenhados em um plano numérico. Este é composto de uma linha de números real e uma linha de números imaginária.

            3i|_ |                  2                      i|_ . 2+2i | | i| | | | | | | | | | -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 | -i|_ .                                                                               ________________________________________                                                                     3-i | | .-2-2i -2i|_ | | -3i|_ | | | -3i                                                                                                

Toda a matemática normal pode ser feita com números complexos:

• Para adicionar dois números complexos, adicione as partes real e imaginária separadamente. Por exemplo, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Para subtrair um número complexo de outro, subtraia as partes real e imaginária separadamente. Por exemplo, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Multiplicar dois números complexos é complicado. É mais fácil de descrever em termos gerais, com dois números complexos a + bi e c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i1}a+b\i} {\i} {\i} {\i} {\i1}vezes (c+d\i}) +b\mathrm {i} \vezes c+b=mathrm \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Por exemplo, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Números Transcendentais

Um número real ou complexo é chamado de número transcendental se não puder ser obtido como resultado de uma equação algébrica com coeficientes inteiros.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\\i1}x^{\i}+{\i}dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Provar que um certo número é transcendental pode ser extremamente difícil. Cada número transcendental é também um número irracional. As primeiras pessoas a ver que havia números transcendentais foram Gottfried Wilhelm Leibniz e Leonhard Euler. O primeiro a realmente provar que havia números transcendentais foi Joseph Liouville. Ele fez isto em 1844.

Números transcendentais bem conhecidos:

• e
• π
• ^ea para algebraic a ≠ 0
• 2 2 ^sqrt 2^sqrt 2^sqrt 2^sqrt 2^sqrt 2^sqrt 2^sqrt 2^sqrt 2^sqrt 2^sqrt

√2 é irracional.