Número complexo

Autor: Leandro Alegsa Data de criação: 18 de dezembro de 2020

Um número complexo é um número, mas é diferente dos números comuns em muitos aspectos. Um número complexo é composto por dois números combinados entre si. A primeira parte é um número real. A segunda parte de um número complexo é um número imaginário. O número imaginário mais importante chama-se i ^{\displaystyle i} $i$ , definido como um número que será -1 ao quadrado ("quadrado" significa "multiplicado por si mesmo"): i 2 = i × i = - 1 ^{\displaystyle i^{2}=i^times i=-1\ } $i^{2}=i\times i=-1\$ . Todos os outros números imaginários são i {\displaystyle i} $i$ multiplicados por um número real, da mesma forma que todos os números reais podem ser pensados como 1 multiplicado por outro número. Funções aritméticas tais como adição, subtracção, multiplicação e divisão podem ser usadas com números complexos. Também seguem propriedades comutativas, associativas e distributivas, tal como os números reais.

Foram descobertos números complexos ao tentar resolver equações especiais que têm expoentes neles. Estas começaram a colocar problemas reais aos matemáticos. Como comparação, usando números negativos, é possível encontrar o x na equação a + x = b {\displaystyle a+x=b} $a+x=b$ para todos os valores reais de a e b, mas se apenas são permitidos números positivos para x é por vezes impossível encontrar um x positivo, como na equação $3 + x = 1$ .

Com a exponenciação, há uma dificuldade a ser ultrapassada. Não há um número real que dê -1 quando está ao quadrado. Por outras palavras, -1 (ou qualquer outro número negativo) não tem uma raiz quadrada real. Por exemplo, não há um número real x {\displaystyle x} que resolve ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9} $(x+1)^{2}=-9$ . Para resolver este problema, os matemáticos introduziram um símbolo i e chamaram-lhe um número imaginário. Este é o número imaginário que dará -1 quando estiver ao quadrado.

Os primeiros matemáticos a pensar nisto foram provavelmente Gerolamo Cardano e Raffaele Bombelli. Eles viveram no século XVI. Provavelmente foi Leonhard Euler quem introduziu a escrita ao estilo de jogo. } $\mathrm {i}$ para esse número.

Todos os números complexos podem ser escritos como a + b i {\displaystyle a+bi}. $a+bi$ (ou a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i} $a+b\cdot i$ ), onde a é chamada a parte real do número, e b é chamada a parte imaginária. Escrevemos ℜ ( z ) {\displaystyle {Re (z)} $\Re (z)$ ou Re ( z ) {\displaystyle {\displaystyle {Re}operatorname {Re} (z)} $\operatorname {Re} (z)$ para a parte real de um número complexo z {\displaystyle z} $z$ . Assim, se z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , escrevemos a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=Re (z)==operatorname {Re} (z)} $a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)$ . Da mesma forma, escrevemos ℑ ( z ) {\i1} $\Im (z)$ ou Im ( z ) {\i} {\i1}displaystyle {\i}displaystyle {\i}operatorname {\i} (z)} $\operatorname {Im} (z)$ para a parte imaginária de um número complexo z {\i1} $z$ ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\i} {\i1}displaystyle b=\i (z)=operatorname {\i} (z)} $b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)$ para o mesmo $z$ . Cada número real é também um número complexo; é um número complexo $z$ com ℑ ( z ) = 0 {\\i1}displaystyle \i (z)=0} $\Im (z)=0$ .

O número complexo também pode ser escrito como um par ordenado, $(a, b)$ . Tanto a como b são números reais. Qualquer número real pode simplesmente ser escrito como a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} $a+0\cdot i$ ou como o par $(a, 0)$ .

Por vezes, o estilo j $j$ é escrito em vez do estilo i $i$ . Em engenharia electrotécnica, i {\displaystyle i} $i$ significa corrente eléctrica. Escrever i no estilo i $i$ pode causar muitos problemas porque alguns números na engenharia eléctrica são números complexos.

O conjunto de todos os números complexos é geralmente escrito como C {\i1}displaystyle {\i}mathbb {C} } $\mathbb {C}$ .

Operações sobre números complexos

Adição, subtracção, multiplicação, divisão desde que o divisor não seja zero, e exponenciação (elevando os números para expoentes) são todos possíveis com números complexos. Alguns outros cálculos também são possíveis com números complexos.

A regra para adição e subtracção de números complexos é bastante simples:

Let z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\i1}displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} $z=(a+bi),w=(c+di)$ z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} $z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ , e z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\i1}displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} $z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$ .

A multiplicação é um pouco diferente:

z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } $z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

Outra operação notável para números complexos é a conjugação. Uma conjugação complexa z ¯ ¯ estilo de jogo ¯ sobre a linha ${\overline {z}}$ = a + b i ¯ estilo de jogo z=a+bi} $z=a+bi$ é a - b i ¯ estilo de jogo a-bi} $a-bi$ . É bastante simples, mas é importante para os cálculos, porque z × z ¯ ¯ ¿estilo z ¿vezes ¿sobre a linha z} $z\times {\overline {z}}$ pertence aos números reais de todos os complexos z ¿estilo z} $z$ :

z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {\z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} $z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}$ .

Podemos usar isto para fazer divisão:

1 z = z ¯ z z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\i1}{z}}={\i1}{\i1}frac {\i}={\i}frac {\i}{z{\i}{z}}}}={\i}{\i}frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$

w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . estilo de jogo {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di){cdot {a {a^{2}+b^{2}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}i} ={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}-esquerda((cx+dy)+(dx-cy)i}}}-esquerda } ${\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).$

Outras formas de descrever números complexos

Números complexos podem ser mostrados num plano chamado complexo. Se tiver um número z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , pode ir a um ponto no eixo real e a b no eixo imaginário e desenhar um vector de ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} $(0,0)$ a ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} $(a,b)$ . O comprimento deste vector pode ser calculado utilizando o teorema de Pitágoras e o ângulo entre o eixo real positivo e este vector, indo no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. O comprimento de um vector para um número z {\displaystyle z} $z$ é chamado o seu módulo (escrito como | z | {\displaystyle |z|} $|z|$ ), e o ângulo é chamado o seu argumento ( arg z {\displaystyle {\displaystyle \arg z} $\arg z$ ).

Isto leva à forma trigonométrica de descrever números complexos: pelas definições de seno e cosseno, para todos os z {\displaystyle z} $z$ , significa que

z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . z=|z|({\cos |arg z+i}sin |arg z). } $z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z).$

Isto está intimamente ligado à fórmula de De Moivre.

Existe mesmo outra forma, chamada formaexponencial.

Um número complexo pode ser visualmente mostrado como dois números que formam um vector num diagrama de Argand, representando o plano complexo.

Conclusão

Com a adição de números complexos à matemática, cada polinómio com coeficientes complexos tem raízes que são números complexos. A adição bem sucedida dos números complexos à matemática também ajudou a abrir um caminho para a criação de outro tipo de números que poderiam resolver e ajudar a explicar muitos problemas diferentes, por exemplo os: números hipercomplexos, sedenion, números hiper-reais, números surreais e muitos outros. Ver os tipos de números.

Perguntas e Respostas

P: O que é um número complexo?

R: Um número complexo é um número composto de duas partes, sendo a primeira parte um número real e a segunda parte um número imaginário.

P: Qual é o número imaginário mais importante?

R: O número imaginário mais importante é chamado i, que é definido como um número que será -1 ao quadrado.

P: Como são usadas as funções aritméticas com números complexos?

R: As funções aritméticas como adição, subtração, multiplicação e divisão podem ser usadas com números complexos. Elas também seguem propriedades comutativas, associativas e distributivas, assim como números reais.

P: Que símbolo representa o conjunto de números complexos?

R: O conjunto de números complexos é freqüentemente representado usando o símbolo C.

P: Por que foram descobertos números complexos?

R: Números complexos foram descobertos enquanto tentavam resolver equações especiais que têm expoentes neles, porque colocavam problemas reais para os matemáticos.

P: Quem introduziu a escrita i para esse tipo de número?

R: Provavelmente foi Leonhard Euler quem introduziu o "i" para esse tipo de número.

P: Como um número complexo pode ser escrito como um par ordenado?

R: Um número complexo pode ser escrito como um par ordenado (a, b), onde tanto a como b são números reais.