Divisão por zero

Em matemática, um número não pode ser dividido por zero. Observar:

1. A ∗ B = C {\\i1}displaystyle A*B=C} $A*B=C$

Se B = 0, então C = 0. Isto é verdade. Mas:

2. A = C / B {\\i1}displaystyle A=C/B} $A=C/B$

(onde B=0, então dividimos apenas por zero)

O que é o mesmo que:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

O problema é que um A {\i1}displaystyle A} $A$ pode ser qualquer número. Funcionaria se A $A$ {\\i1}se fosse 1 ou se fosse 1.000.000.000.000. 0/0 é dito ser de "forma indeterminada" por esta razão, porque não tem um valor único. Os números da forma A/0, por outro lado, onde A {\displaystyle A} $A$ não é 0, dizem ser "indeterminado", ou "indeterminado". Isto porque qualquer tentativa de os definir resultará num valor de infinito, que por sua vez é indeterminado. Normalmente quando dois números são iguais à mesma coisa, eles são iguais um ao outro. Isto não é verdade quando o que ambos são iguais é 0/0. Isto significa que as regras normais de matemática não funcionam quando o número é dividido por zero.

Provas erradas baseadas na divisão por zero

É possível disfarçar um caso especial de divisão por zero num argumento algébrico. Isto pode levar a provas inválidas, tais como 1=2, como nos seguintes casos:

Com os seguintes pressupostos:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\\i1}0= 0 × 1 = 0 × 2 = 0. ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

O seguinte deve ser verdade:

0 × 1 = 0 × 2. {\\i1}-estilo de exibição 0\i1=0\i2,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Dividir por zero dá:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {0} {0} {0} {0} {0} {0} vezes 1={0} {0} {0} {0} {0} {0= 0 × 2. $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Simplificar:

1 = 2. {\i1=2.{\i1}displaystyle 1=2.{\i} $1=2.\,$

A falácia é o pressuposto de que dividir por 0 é uma operação legítima com 0/0 = 1.

A maioria das pessoas reconheceria provavelmente a "prova" acima referida como incorrecta, mas o mesmo argumento pode ser apresentado de uma forma que torna mais difícil detectar o erro. Por exemplo, se 1 for escrito como x, então 0 pode ser escondido atrás de x-x e 2 atrás de x+x. A prova acima mencionada pode então ser apresentada da seguinte forma:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\\i1}(x-x)x=0\i(x-x)(x+x)=0{\i0}}end{\i1}}displaystyle {\i}(x-x)x=0\i(x-x)(x+x)=0 ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

portanto:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\\i1}estilo de jogo (x-x)x=(x-x)(x+x).\i} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Dividindo por x - x dá:

x = x + x {\\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

e dividindo por x dá:

1 = 2. {\i1=2.{\i1}displaystyle 1=2.{\i} $1=2.\,$

A "prova" acima é incorrecta porque se divide por zero quando se divide por x-x, porque qualquer número menos em si é zero.

Cálculo

Em cálculo, as "formas indeterminadas" acima referidas também vêm como resultado de substituição directa enquanto se avaliam os limites.

Divisão por zero nos computadores

Se um programa de computador tentar dividir um número inteiro por zero, o sistema operativo irá normalmente detectar isto e parar o programa. Normalmente imprimirá uma "mensagem de erro", ou dará conselhos ao programador sobre como melhorar o programa^[]. A divisão por zero é um erro comum na programação de computadores. Dividir números de ponto flutuante (decimais) por zero resultará normalmente num valor infinito ou num valor especial de NaN (não um número), dependendo do que está a ser dividido por zero.

Divisão por zero em geometria

Em geometria 1 0 = ∞ . Estilo de texto estilo de jogo 1 } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Este infinito (infinito projectivo) não é nem um número positivo nem um número negativo, da mesma forma que zero não é um número positivo nem negativo

Perguntas e Respostas

P: Qual é o resultado da divisão de um número por zero?

R: Dividir um número por zero resulta em uma "forma indefinida" ou "indeterminada", o que significa que não tem um valor único.

P: O que significa 0/0?

R: 0/0 é dito ser de "forma indeterminada", porque não tem valor único.

P: O que acontece quando dois números são iguais à mesma coisa, mas essa coisa é 0/0?

R: As regras normais da matemática não funcionam quando o número é dividido por zero, portanto os dois números não seriam iguais um ao outro.

P: É verdade que qualquer tentativa de definir um número do formulário A/0 resultará em um valor de infinito?

R: Sim, qualquer tentativa de definir um número do formulário A/0 (onde A não é 0) resultará em um valor de infinito, que por si só é indefinido.

P: Como podemos determinar se dois números são iguais um ao outro?

R: Podemos determinar se dois números são iguais um ao outro, vendo se ambos são iguais à mesma coisa. Normalmente isso funciona, mas isso não se aplica quando ambos os números são iguais a 0/0.

P: Existe alguma exceção para quando não podemos dividir um número por zero? R: Sim, em matemática não é possível dividir um número por zero.