Propriedade distributiva

Autor: Leandro Alegsa Data de criação: 3 de abril de 2021

A distribuição é um conceito de álgebra: ela diz como as operações binárias devem ser tratadas. O caso mais simples é o da adição e multiplicação de números. Por exemplo, em aritmética:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), mas 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

No lado esquerdo da primeira equação, o 2 multiplica a soma de 1 e 3; no lado direito, multiplica o 1 e o 3 individualmente, com os produtos adicionados depois. Como estes dão a mesma resposta final (8), diz-se que a multiplicação por 2 distribui a adição de 1 e 3. Como se poderia ter colocado qualquer número real no lugar de 2, 1 e 3 acima, e ainda ter obtido uma equação verdadeira, dizemos que a multiplicação de números reais distribui sobre a adição de números reais.

Definição

Dado um conjunto $S$ e dois operadores binários ∗ e + em $S$ , dizemos que a operação:

∗ é distributivo à esquerda sobre + se, dados quaisquer elementos $x, y$ , e $z$ de $S$ ,

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ é distributivo à direita sobre + se, dados quaisquer elementos $x, y$ , e $z$ de $S$ ,

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {\i1}displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ e

∗ é distributivo sobre + se for distributivo à esquerda e à direita. Observe que quando ∗ é comutativo, as três condições acima são logicamente equivalentes.

Aplicativos

A propriedade distributiva também pode ser aplicada:

Números reais
Números complexos
Matrizes (aplicam-se regras especiais)
Vetores (aplicam-se regras especiais)
Sets
Lógica proposicional

Perguntas e Respostas

P: O que é distribuição em álgebra?

R: Distribuição é um conceito em álgebra que descreve como as operações binárias, como adição e multiplicação, são tratadas.

P: O senhor pode dar um exemplo de distribuição em aritmética?

R: Sim, um exemplo de distribuição em aritmética é 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), em que o lado esquerdo tem o 2 multiplicando a soma de 1 e 3, enquanto o lado direito tem o 2 multiplicando o 1 e o 3 individualmente, com os produtos adicionados depois.

P: Por que o conceito de distribuição é importante na álgebra?

R: O conceito de distribuição é importante na álgebra porque ajuda a simplificar as equações e a torná-las mais fáceis de resolver.

P: A multiplicação é distribuída sobre a adição de todos os números reais?

R: Sim, a multiplicação de números reais distribui sobre a adição de números reais, o que significa que é possível colocar qualquer número real no lugar dos valores da equação usada para o exemplo de distribuição em aritmética e ainda assim obter uma equação verdadeira.

P: A adição é distributiva em relação à multiplicação em todos os casos?

R: Não, a adição não é distributiva em relação à multiplicação em todos os casos; isso só é verdadeiro para determinados conjuntos de números, como os números reais.

P: O senhor pode dar um exemplo em que a distribuição não seja verdadeira?

R: Sim, um contraexemplo em que a distribuição não é verdadeira é 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). Nesse caso, a equação do lado esquerdo não é igual à equação do lado direito porque a divisão não se distribui sobre a adição.

P: Como a distribuição se aplica às operações binárias?

R: A distribuição em álgebra se aplica especificamente a operações binárias, como adição e multiplicação, em que ela descreve como as operações devem ser realizadas quando há mais de um operando envolvido.