Matriz (matemática)

As linhas horizontais em uma matriz são chamadas linhas e as linhas verticais são chamadas colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de matriz m por n (ou matriz m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões.

Os lugares na matriz onde os números são chamados de entradas. A entrada de uma matriz A que se encontra na linha número i e coluna número j é chamada de entrada i,j de A. Esta é escrita como A[i,j] ou _ai,j.

Escrevemos A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}} para definir uma matriz m × n A com cada entrada na matriz chamada _ai,j para todos 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Exemplo

A matriz

1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] estilo de jogo 1&2&3&1&2&7&4&9&2&2&6&1&5end{bmatrix}}}

é uma matriz 4×3. Esta matriz tem m=4 filas, e n=3 colunas.

O elemento A[2,3] ou a2_,3 é 7.

Acréscimo

A soma de duas matrizes é a matriz, que (i,j)-a entrada é igual à soma das (i,j)-a entrada de duas matrizes:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 7 8 5 0 3 3 ] {\i1}displaystyle {\i1}begin{\i}bmatrix3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

As duas matrizes têm as mesmas dimensões. Aqui A + B = B + A {\\i1}displaystyle A+B=B+A} é verdade.

Multiplicação de duas matrizes

A multiplicação de duas matrizes é um pouco mais complicada:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4=bmatrix (a1cdot b1+a2cdot b3)&(a1cdot b2+a2cdot b4){a3}(a3cdot b1+a4cdot b3)&(a3cdot b2+a4cdot b4){bmatrix

Assim, com Números:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\i1}{\i1}begin{bmatrix}3&5{\i}{\i1&4}end{\i}{\i}cdot {\i}{\i}begin{\i}2&3:5&0:end{bmatrix}={begin{bmatrix}(3:cdot 2+5:cdot 5)&(3:cdot 3+5:cdot 0){ 1:cdot 2+4:cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• duas matrizes podem ser multiplicadas uma com a outra, mesmo que tenham dimensões diferentes, desde que o número de colunas na primeira matriz seja igual ao número de linhas na segunda matriz.
• o resultado da multiplicação, chamado produto, é outra matriz com o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz.
• a multiplicação de matrizes não é comutativa, o que significa em geral que A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\i1}displaystyle A\i}bcdot Bneq B\iq B\cdot A
• a multiplicação de matrizes é associativa, o que significa que ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\i1}displaystyle (A\cdot B){\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Há algumas matrizes que são especiais.

Matriz quadrada

Uma matriz quadrada tem o mesmo número de filas que as colunas, portanto m=n.

Um exemplo de uma matriz quadrada é

5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\i1}displaystyle {bmatrix}5&-2&4}0&9&1&1&7&6&8}end{bmatrix

Esta matriz tem 3 linhas e 3 colunas: m=n=3.

Identidade

Cada conjunto de dimensões quadradas de uma matriz tem uma contraparte especial chamada "matriz de identidade". A matriz identitária não tem nada além de zeros, exceto na diagonal principal, onde há todos os zeros. Por exemplo, a matriz de identidade:

1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\i1}displaystyle {\i1}begin{bmatrix}1&0&0&0&1&0&0&0&1}end{bmatrix}}

é uma matriz de identidade. Há exatamente uma matriz de identidade para cada conjunto de dimensões quadradas. Uma matriz de identidade é especial porque ao multiplicar qualquer matriz pela matriz de identidade, o resultado é sempre a matriz original, sem nenhuma mudança.

Matriz Inversa

Uma matriz inversa é uma matriz que, quando multiplicada por outra matriz, é igual à matriz de identidade. Por exemplo, uma matriz inversa é uma matriz que, quando multiplicada por outra matriz, é igual à matriz de identidade:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\i1}displaystyle {\i1}begin{\i1}7&8}bmatrix{\i}6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

7 - 8 - 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7 .

A fórmula para o inverso de uma matriz de 2x2, [ x y z v ] {\i1}displaystyle {\i}begin{\i}x&y{\i}x&y{\i}z&vend{\i} é:

1 d e t ) [ v - y - z x ] {\i1}-esquerda(1 d e t ) [ v - y - z x ] {\i}-esquerda(1 d e t ) [ v - y - z x ] {\i}-esquerda(1 d e t ) [ v - y - z x ] {\i}-esquerda(1 d e t ) [ v - y - z x ] {\i}-esquerda(1 d e t ) [ v - y - z x ]

 Em uma matriz 2x2, o determinante é igual a:

x v - y z {xv-yz}}

Matriz de uma coluna

Uma matriz, que tem muitas filas, mas apenas uma coluna, é chamada de vetor de coluna.

O determinante toma uma matriz quadrada e calcula um número simples, um escalar. Para entender o significado deste número, pegue cada coluna da matriz e desenhe-a como um vetor. O paralelogramo desenhado por esses vetores tem uma área, que é o determinante. Para todas as matrizes 2x2, a fórmula é muito simples: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\i1}det {begin{bmatrix}a&bc&dend{bmatrix} =ad-bc}

Para matrizes 3x3, a fórmula é mais complicada: det ( a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\i1}displaystyle {\i}det {\i1}left(bbegin{\i}a_{\i}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Não há fórmulas simples para os determinantes de matrizes maiores, e muitos programadores de computador estudam como conseguir que os computadores encontrem rapidamente os grandes determinantes.

Propriedades dos determinantes

Há três regras que todos os determinantes seguem. Estas são:

• O determinante de uma matriz de identidade é 1
• Se duas linhas ou duas colunas da matriz são trocadas, então o determinante é multiplicado por -1. Os matemáticos chamam isto de alternância.
• Se todos os números em uma linha ou coluna forem multiplicados por outro número n, então o determinante é multiplicado por n. Também, se uma matriz M tem uma coluna v que é a soma de duas matrizes de coluna v 1 {{1}} e v 2 {2 {2} {3}. Então, o determinante de M é a soma dos determinantes de M com v 1 no lugar de v e M com v 2 no lugar de v. Estas duas condições são chamadas de multi-linearidade.

• Álgebra linear
• Álgebra linear numérica