Matriz (matemática)

Em matemática, uma matriz (plural: matrizes) é um retângulo de números, dispostos em filas e colunas. As linhas são linhas da esquerda para a direita (horizontais), e as colunas vão de cima para baixo (verticais). A célula superior esquerda está na linha 1, coluna 1 (ver diagrama à direita).

Existem regras para adicionar, subtrair e "multiplicar" matrizes juntas, mas as regras são diferentes das regras para números. Como exemplo, A ⋅ B {\displaystyle A\cdot B} $A\cdot B$ nem sempre dá o mesmo resultado que B ⋅ A {\displaystyle B\cdot A} $B\cdot A$ que é o caso da multiplicação dos números comuns. Uma matriz pode ter mais de 2 dimensões, tais como uma matriz 3D. Além disso, uma matriz pode ser unidimensional, como uma única linha ou coluna.

Muitas ciências naturais utilizam bastante matrizes. Em muitas universidades, os cursos sobre matrizes (geralmente chamados de álgebra linear) são ministrados muito cedo, às vezes até mesmo no primeiro ano de estudos. As matrizes também são muito comuns nas ciências da computação.

Entradas específicas de uma matriz são frequentemente referenciadas usando pares de subscritores, para os números em cada uma das linhas e colunas.

Definições e notações

As linhas horizontais em uma matriz são chamadas linhas e as linhas verticais são chamadas colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de matriz m por n (ou matriz m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões.

Os lugares na matriz onde os números são chamados de entradas. A entrada de uma matriz A que se encontra na linha número i e coluna número j é chamada de entrada i,j de A. Esta é escrita como A[i,j] ou _ai,j.

Escrevemos A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}}} $A:=(a_{ij})_{m\times n}$ para definir uma matriz m × n A com cada entrada na matriz chamada _ai,j para todos 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Exemplo

A matriz

1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] estilo de jogo 1&2&3&1&2&7&4&9&2&2&6&1&5end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}$

é uma matriz 4×3. Esta matriz tem m=4 filas, e n=3 colunas.

O elemento A[2,3] ou a2_,3 é 7.

Operações

Acréscimo

A soma de duas matrizes é a matriz, que (i,j)-a entrada é igual à soma das (i,j)-a entrada de duas matrizes:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 7 8 5 0 3 3 ] {\i1}displaystyle {\i1}begin{\i}bmatrix3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

As duas matrizes têm as mesmas dimensões. Aqui A + B = B + A {\\i1}displaystyle A+B=B+A} $A+B=B+A$ é verdade.

Multiplicação de duas matrizes

A multiplicação de duas matrizes é um pouco mais complicada:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4=bmatrix (a1cdot b1+a2cdot b3)&(a1cdot b2+a2cdot b4){a3}(a3cdot b1+a4cdot b3)&(a3cdot b2+a4cdot b4){bmatrix ${\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrix}}$

Assim, com Números:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\i1}{\i1}begin{bmatrix}3&5{\i}{\i1&4}end{\i}{\i}cdot {\i}{\i}begin{\i}2&3:5&0:end{bmatrix}={begin{bmatrix}(3:cdot 2+5:cdot 5)&(3:cdot 3+5:cdot 0){ 1:cdot 2+4:cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\5&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}$

duas matrizes podem ser multiplicadas uma com a outra, mesmo que tenham dimensões diferentes, desde que o número de colunas na primeira matriz seja igual ao número de linhas na segunda matriz.
o resultado da multiplicação, chamado produto, é outra matriz com o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz.
a multiplicação de matrizes não é comutativa, o que significa em geral que A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\i1}displaystyle A\i}bcdot Bneq B\iq B\cdot A $A\cdot B\neq B\cdot A$
a multiplicação de matrizes é associativa, o que significa que ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\i1}displaystyle (A\cdot B){\cdot C=A\cdot (B\cdot C)} $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$

Matrizes especiais

Há algumas matrizes que são especiais.

Matriz quadrada

Uma matriz quadrada tem o mesmo número de filas que as colunas, portanto m=n.

Um exemplo de uma matriz quadrada é

5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\i1}displaystyle {bmatrix}5&-2&4}0&9&1&1&7&6&8}end{bmatrix ${\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\\-7&6&8\\\end{bmatrix}}$

Esta matriz tem 3 linhas e 3 colunas: m=n=3.

Identidade

Cada conjunto de dimensões quadradas de uma matriz tem uma contraparte especial chamada "matriz de identidade". A matriz identitária não tem nada além de zeros, exceto na diagonal principal, onde há todos os zeros. Por exemplo, a matriz de identidade:

1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\i1}displaystyle {\i1}begin{bmatrix}1&0&0&0&1&0&0&0&1}end{bmatrix}} ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

é uma matriz de identidade. Há exatamente uma matriz de identidade para cada conjunto de dimensões quadradas. Uma matriz de identidade é especial porque ao multiplicar qualquer matriz pela matriz de identidade, o resultado é sempre a matriz original, sem nenhuma mudança.

Matriz Inversa

Uma matriz inversa é uma matriz que, quando multiplicada por outra matriz, é igual à matriz de identidade. Por exemplo, uma matriz inversa é uma matriz que, quando multiplicada por outra matriz, é igual à matriz de identidade:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\i1}displaystyle {\i1}begin{\i1}7&8}bmatrix{\i}6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}} ${\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

7 - 8 - 6 7] é o ${\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}$ inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7] é o inverso de [ 7 8 6 7 ${\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}$ .

A fórmula para o inverso de uma matriz de 2x2, [ x y z v ] {\i1}displaystyle {\i}begin{\i}x&y{\i}x&y{\i}z&vend{\i} é:

1 d e t ) [ v - y - z x ] {\i1}-esquerda(1 d e t ) [ v - y - z x ] {\i}-esquerda(1 d e t ) [ v - y - z x ] {\i}-esquerda(1 d e t ) [ v - y - z x ] {\i}-esquerda(1 d e t ) [ v - y - z x ] {\i}-esquerda(1 d e t ) [ v - y - z x ] $\left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}$

Em uma matriz 2x2, o determinante é igual a:

x v - y z {xv-yz}} ${xv-yz}$

Matriz de uma coluna

Uma matriz, que tem muitas filas, mas apenas uma coluna, é chamada de vetor de coluna.

Determinantes

O determinante toma uma matriz quadrada e calcula um número simples, um escalar. Para entender o significado deste número, pegue cada coluna da matriz e desenhe-a como um vetor. O paralelogramo desenhado por esses vetores tem uma área, que é o determinante. Para todas as matrizes 2x2, a fórmula é muito simples: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\i1}det {begin{bmatrix}a&bc&dend{bmatrix} =ad-bc} $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc$

Para matrizes 3x3, a fórmula é mais complicada: det ( a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\i1}displaystyle {\i}det {\i1}left(bbegin{\i}a_{\i}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})} $\det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})$

Não há fórmulas simples para os determinantes de matrizes maiores, e muitos programadores de computador estudam como conseguir que os computadores encontrem rapidamente os grandes determinantes.

Propriedades dos determinantes

Há três regras que todos os determinantes seguem. Estas são:

O determinante de uma matriz de identidade é 1
Se duas linhas ou duas colunas da matriz são trocadas, então o determinante é multiplicado por -1. Os matemáticos chamam isto de alternância.
Se todos os números em uma linha ou coluna forem multiplicados por outro número n, então o determinante é multiplicado por n. Também, se uma matriz M tem uma coluna v que é a soma de duas matrizes de coluna v 1 {{1}} $v_{1}$ e v 2 {2 {2} {3}. $v_{2}$ Então, o determinante de M é a soma dos determinantes de M com v 1 $v_{1}$ no lugar de v e M com v 2 $v_{2}$ no lugar de v. Estas duas condições são chamadas de multi-linearidade.

Veja também

Álgebra linear
Álgebra linear numérica

Controle de autoridade

GND: 4037968-1
LCCN: sh85082210

Perguntas e Respostas

P: O que é uma matriz?

R: Uma matriz é um retângulo de números, dispostos em filas e colunas. As linhas são linhas da esquerda para a direita (horizontais), e as colunas vão de cima para baixo (verticais).

P: Como são representadas as matrizes?

R: As matrizes são freqüentemente representadas por letras maiúsculas romanas, tais como A, B e C.

P: O que acontece quando o senhor multiplica duas matrizes juntas?

R: O produto AB nem sempre dá o mesmo resultado que o BA, que é diferente de multiplicar números ordinários.

P: Uma matriz pode ter mais de duas dimensões?

R: Sim, uma matriz pode ter mais de duas dimensões, como uma matriz 3D. Pode também ser unidimensional, como uma única linha ou coluna.

P: Onde são usadas as matrizes?

R: As matrizes são usadas em muitas ciências naturais e ciências da computação, engenharia, física, economia e estatística.

P: Quando as universidades ministram cursos sobre matrizes?

R: As universidades geralmente lecionam cursos sobre matrizes (geralmente chamadas de álgebra linear) muito cedo nos estudos - às vezes até no primeiro ano de estudos.

P: É possível acrescentar ou subtrair matrizes juntas?

R: Sim - há regras para adicionar e subtrair matrizes juntas, mas essas regras diferem das regras para números comuns.