Vetor

A vector

Um vetor é um objeto matemático que tem um tamanho, chamado de magnitude, e uma direção.

Por exemplo, um vetor seria usado para mostrar a distância e a direção em que algo se movia. Se você perguntar por direções, e uma pessoa disser "Caminhe um quilômetro em direção ao Norte", isso é um vetor. Se ele disser "Caminhe um quilômetro", sem mostrar uma direção, seria um escalar.

Normalmente desenhamos vetores como setas. O comprimento da flecha é proporcional à magnitude do vetor. A direção na qual a seta aponta é a direção do vetor.

Exemplos de vetores

  • John caminha para o norte 20 metros. A direção "norte" junto com a distância "20 metros" é um vetor.
  • Uma maçã cai a 10 metros por segundo. A direção "para baixo" combinada com a velocidade "10 metros por segundo" é um vetor. Este tipo de vetor também é chamado de velocidade.

Exemplos de escalares

  • A distância entre dois lugares é de 10 quilômetros. Esta distância não é um vetor porque não contém uma direção.
  • O número de frutas em uma caixa não é um vetor.
  • Uma pessoa apontando não é um vetor porque existe apenas uma direção. Não há nenhuma magnitude (a distância do dedo da pessoa a um edifício, por exemplo).
  • O comprimento de um objeto.
  • Um carro dirige a 100 quilômetros por hora. Isto não descreve um vetor, pois existe apenas uma magnitude, mas nenhuma direção.

Mais exemplos de vetores

  • O deslocamento é um vetor. Deslocamento é a distância que algo se move em uma determinada direção. Uma medida de distância sozinha é um escalar.
  • A força que inclui a direção é um vetor.
  • A velocidade é um vetor, porque é uma velocidade em uma determinada direção.
  • Aceleração é a taxa de mudança de velocidade. Um objeto está acelerando se estiver mudando de velocidade ou mudando de direção.

Como adicionar vetores

Adicionando vetores no papel usando o método da cabeça à cauda

O método Head to Tail de adição de vetores é útil para fazer uma estimativa no papel do resultado da adição de dois vetores. Para fazer isso:

  • Cada vetor é desenhado como uma seta com uma quantidade de comprimento atrás dele, onde cada unidade de comprimento no papel representa uma certa magnitude do vetor.
  • Desenhe o próximo vetor, com a cauda (final) do segundo vetor na cabeça (frente) do primeiro vetor.
  • Repetir para todos os outros vetores: Desenhe a cauda do próximo vetor à frente do anterior.
  • Traçar uma linha desde a cauda do primeiro vetor até a cabeça do último vetor - isso é a resultante (soma) de todos os vetores.

É chamado de método "Cabeça para Cauda", porque cada cabeça do vetor anterior leva à cauda da próxima.

Usando o formulário de componentes

[precisa ser explicado]

Usar o formulário de componentes para adicionar dois vetores significa literalmente adicionar os componentes dos vetores para criar um novo vetor. Por exemplo, deixe a e b serem dois vetores bidimensionais. Esses vetores podem ser escritos em termos de seus componentes.

a = ( a x , a y ) {\a} {a} =(a_{x},a_{y})} {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})}

b = ( b x , b y ) {\i} {b} =(b_{x},b_{y})} {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})}

Suponha que c é a soma desses dois vetores, de modo que c = a + b. Isto significa que c = ( a x + b x , a y + b y ) {\i1}mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})}{\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} .

Aqui está um exemplo de adição de dois vetores, utilizando suas formas componentes.

a = ( 3 , - 1 ) {\an8} {a} =(3,-1)} {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)}

b = ( 2 , 2 ) {\i1}displaystyle \i}mathbf {b} =(2,2)} {\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)}

c = a + b {\i1}mathbf {c} =mathbf {a} +{\i1}mathbf {b} } {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} }

= ( a x + b x , a y + b y ) {\i1}displaystyle =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} {\displaystyle =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})}

= ( 3 + 2 , - 1 + 2 ) {\i1}displaystyle =(3+2,-1+2)} {\displaystyle =(3+2,-1+2)}

= ( 5 , 1 ) {\i1}displaystyle =(5,1)} {\displaystyle =(5,1)}

Este método funciona para todos os vetores, não apenas para os bidimensionais.

Adição "cabeça a cabeça
Adição "cabeça a cabeça

Como multiplicar os vetores

Usando o produto ponto

O produto ponto é um método para multiplicar os vetores. Ele produz um escalar. Ele utiliza a forma de componentes:

a = ( 2 , 3 ) b = ( 1 , 4 ) a b = ( 2 , 3 ) ( 1 , 4 ) = ( 2 1 ) + ( 3 4 ) = 2 + 12 = 14 {\i1}mathbf {a} =(2,3)mathbf {b} =(1,4)mathbf {a} {cdot {b} =(2,3){cdot (1,4){2){cdot 1)+(3)cdot 4){a}=2+12=14end{alinhado {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} =(2,3)\\\mathbf {b} =(1,4)\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(2,3)\cdot (1,4)\\=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\\=2+12=14\end{aligned}}}

Usando o produto cruzado

O produto cruzado é outro método para multiplicar os vetores. Ele produz outro vetor. Usando a forma de componentes:

a × b = | a | b | sin ( θ ) n {\i1}displaystyle {a}mathbf {a} times |mathbf {b} =|mathbf {a} ||mathbf {b} |\em (theta )mathbf {n} } {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n} }

Aqui um estilo de exibição |{\displaystyle |\mathbf {a} |}Significa o comprimento de um jogo ao estilo de uma peça de teatro. {\displaystyle \mathbf {a} }e n estilo de jogo de matemática. {\displaystyle \mathbf {n} }é o vetor da unidade em ângulos retos a ambos os ângulos, ao estilo de um {\displaystyle \mathbf {a} }e b b estilo de jogo de jogo de matemática } {\displaystyle \mathbf {b} }.

Multiplicando por um escalar

Para multiplicar um vetor por um escalar (um número normal), multiplica-se o número por cada componente do vetor:

c x = ( c x 1 , c x 2 , . . . , c x n ) {\i1}displaystyle c\i}, mathbf {x} =(c\i, x_{1},c\i, x_{2},...,c\i, x_{n})} {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})}

Um exemplo disso é

c = 5 x = ( 3 , 4 ) c x = ( 5 3 , 5 4 ) = ( 15 , 20 ) {\i1}displaystyle {\i1}c=5mathbf {x} =(3,4){\i},{\i}mathbf {x} =(5\i3,5){\i} {\i1}(15,20){\i}end{\i1}end{\i}}alinhado {\displaystyle {\begin{aligned}c=5\\\mathbf {x} =(3,4)\\c\,\mathbf {x} =(5\cdot 3,5\cdot 4)\\=(15,20)\end{aligned}}}

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