Os logaritmos têm muitas propriedades. Por exemplo, os logaritmos têm muitas propriedades:
Propriedades a partir da definição de um logaritmo
Esta propriedade é diretamente da definição de um logaritmo:
log n ( n a ) = a {\i1}log _{n}(n^{a})=a} 
Por exemplo
log 2 ( 2 3 ) = 3 {\i1}log _{2}(2^{3})=3} 
e
log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\\i1}{\i1}{\i1}{\i1}=-1} 
porque 1 2 = 2 - 1 {\i}displaystyle {\i}{\i1}{\i1}{\i1}=2^{\i}=2^{\i1} 
.
O logaritmo à base b de um número a é o mesmo que o logaritmo de a dividido pelo logaritmo de b. Ou seja, o logaritmo de a dividido pelo logaritmo de b,
log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) log ( b ) log _{{b}(a)={\i1}frac {\i}{\i(a)log(b)}}{\i1}displaystyle 
Por exemplo, que a seja 6 e b seja 2. Com as calculadoras podemos mostrar que isto é verdade ou pelo menos muito próximo:
log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) log _{\i1}(6)={\i1}displaystyle {\i}log _{\i}(6)={\i}frac {\i}{\i}{\i}log(2)} 
log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {\\i1} 2.584962 {\i1}log _{\i}(6){\i1}approx 2.584962} 
2.584962 ≈ 0.778151 0.301029 ≈ 2.584970 {\i1}{\i1}aproximadamente 2.584962 {\i1.778151}{\i1.301029}{\i1.301029}}aproximadamente 2.584970} 
Nossos resultados tiveram um pequeno erro, mas isto se deveu ao arredondamento dos números.
Como é difícil imaginar o logaritmo natural, descobrimos que, em termos de um logaritmo de base:
ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0,434294 {\\i1}{\i1}displaystyle {\i(x)={\i1}frac {\i(x)}{\i(e)}approx {\i(x)}{0,434294}} 
Onde 0,434294 é uma aproximação para o logaritmo de e.
Operações dentro de argumentos logarítmicos
Os logaritmos que se multiplicam dentro de seu argumento podem ser alterados da seguinte forma:
log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\i1}displaystyle {\i}log(ab)={\i(a)+\i(b)} 
Por exemplo,
log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3} 
O mesmo funciona para dividir mas subtrair ao invés de adicionar, porque é a operação inversa da multiplicação:
log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) - log ( b ) - log ( a ) - log ( b ) - log 
Tabelas de logaritmos, réguas de cálculo e aplicações históricas
Antes dos computadores eletrônicos, os logaritmos eram usados todos os dias pelos cientistas. Os logaritmos ajudavam os cientistas e engenheiros em muitas áreas, como astronomia.
Antes dos computadores, a tabela de logaritmos era uma ferramenta importante. Em 1617, Henry Briggs imprimiu a primeira tabela de logaritmos. Isto foi logo após a invenção básica de Napier. Mais tarde, as pessoas fizeram tabelas com melhor escopo e precisão. Estas tabelas listaram os valores de logaritmo(x) e bx para qualquer número x em uma certa faixa, com uma certa precisão, para uma certa base b (geralmente b = 10). Por exemplo, a primeira tabela de Briggs continha os logaritmos comuns de todos os números inteiros na faixa de 1-1000, com uma precisão de 8 dígitos. Como a função f(x) = bx é a função inversa do logb(x), ela foi chamada de antilogaritmo. As pessoas usavam estas tabelas para multiplicar e dividir os números. Por exemplo, um usuário procurou o logaritmo na tabela para cada um de dois números positivos. A adição dos números da tabela daria o logaritmo do produto. A característica antilogarítmica da tabela encontraria então o produto com base em seu logaritmo.
Para cálculos manuais que precisam de precisão, realizar a pesquisa dos dois logaritmos, calcular sua soma ou diferença e pesquisar o antilogaritmo é muito mais rápido do que realizar a multiplicação pelas formas anteriores.
Muitas tabelas de logaritmos dão logaritmos fornecendo separadamente a característica e a mantissa de x, ou seja, a parte inteira e a parte fracionária de log10(x). A característica de 10 - x é uma mais a característica de x, e seus significados são os mesmos. Isto amplia o escopo das tabelas logarítmicas: dada uma tabela listando log10(x) para todos os inteiros x variando de 1 a 1000, o logaritmo de 3542 é aproximado por
log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354.2 ) = 1 + log 10 ( 354.2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . log _{{10}(3542)=log _{10}(10}(10}cdot 354.2)=1+log _{10}(354.2){10}(354.2)}aproximadamente 1+log _{10}(354).},} 
Outra aplicação crítica foi a régua de cálculo, um par de escalas logaritmicamente divididas utilizadas para cálculo, como ilustrado aqui:
Os números são marcados em escalas deslizantes a distâncias proporcionais às diferenças entre seus logaritmos. Deslizando a escala superior apropriadamente equivale a adicionar mecanicamente os logaritmos. Por exemplo, adicionando a distância de 1 a 2 na escala inferior à distância de 1 a 3 na escala superior, obtém-se um produto de 6, que é lido na parte inferior. Muitos engenheiros e cientistas usaram réguas de cálculo até os anos 70. Os cientistas podem trabalhar mais rapidamente usando uma régua de cálculo do que usando uma tabela de logaritmos.
. Neste logaritmo, a base é 2, o argumento é 8 e a resposta é 3.
