Arredondamento

Os problemas típicos de arredondamento são:

• aproximando um número irracional por uma fração, por exemplo π até 22/7;
• aproximando-se de uma fração com expansão decimal periódica por uma fração decimal finita, por exemplo, 5/3 por 1,6667;
• substituindo um número racional por uma fração com numerador e denominador menores, por exemplo, 3122/9417 por 1/3;
• substituindo um número decimal fracionário por um com menos dígitos, por exemplo, 2,1784 dólares por 2,18 dólares;
• substituir um número inteiro decimal por um número inteiro com mais zeros traiçoeiros, por exemplo, 23.217 pessoas por 23.200 pessoas; ou, em geral,
• substituindo um valor por um múltiplo de uma quantia especificada, por exemplo, 27,2 segundos por 30 segundos (um múltiplo de 15).

O tipo mais comum de arredondamento é arredondar para um inteiro; ou, mais geralmente, para um múltiplo inteiro de algum incremento - como arredondamento para décimos de segundos inteiros, centésimos de um dólar, para múltiplos inteiros de 1/2 ou 1/8 polegada, para dúzias ou milhares inteiros, etc.

Em geral, arredondar um número x para um múltiplo de algum incremento m especificado implica os seguintes passos:

1. Dividir x por m, deixar o resultado ser y;
2. Redondo y para um valor inteiro, chame-lhe q;
3. Multiplicar q por m para obter o valor arredondado z.

z = r o u n d ( x , m ) = r o u n d ( x / m ) ⋅ m {\displaystyle z=\mathrm {round} (x,m)=\mathrm {round} (x/m){\cdot m,}

Por exemplo, arredondar x = 2,1784 dólares para centavos inteiros (ou seja, para um múltiplo de 0,01) implica calcular y = x/m = 2,1784/0,01 = 217,84, depois arredondar y para o inteiro q = 218, e finalmente calcular z = q×m = 218×0,01 = 2,18.

Ao arredondar para um número predeterminado de dígitos significativos, o incremento m depende da magnitude do número a ser arredondado (ou do resultado arredondado).

O incremento m é normalmente uma fração finita em qualquer sistema numérico que é usado para representar os números. Para exibição para humanos, isso geralmente significa o sistema numérico decimal (ou seja, m é um inteiro vezes uma potência de 10, como 1/1000 ou 25/100). Para valores intermediários armazenados em computadores digitais, isso geralmente significa o sistema de numeração binária (m é um número inteiro vezes uma potência de 2).

A função abstrata de "arredondamento()" que retorna um número inteiro de um valor real arbitrário tem pelo menos uma dúzia de definições concretas distintas apresentadas na seção de arredondamento para número inteiro. A função abstrata de dois argumentos "round()" é formalmente definida aqui, mas em muitos casos é usada com o valor implícito m = 1 para o incremento e depois é reduzida à função abstrata equivalente de um argumento, com também a mesma dúzia de definições concretas distintas.

A forma mais básica de arredondamento é substituir um número arbitrário por um número inteiro. Todos os seguintes modos de arredondamento são implementações concretas da função abstrata "arredondamento()" de um único documento apresentado e utilizado nas seções anteriores.

Há muitas maneiras de arredondar um número y para um número inteiro q. As mais comuns são

• arredondar para baixo (ou tomar a palavra, ou arredondar para o infinito negativo): q é o maior número inteiro que não excede y.

q = f l o o r ( y ) = ⌊ y ⌋ = - ⌈ - y ⌉ {\displaystyle q=\mathrm {\floor} (y)=piso esquerdo e direito =-esquerda -y-esquerda -y-direita -rceil}

• arredondar para cima (ou pegar o teto, ou arredondar para mais infinito): q é o menor número inteiro que não é menor que y.

q = c e i l ( y ) = ⌈ y ⌉ = - ⌊ - y ⌋ {\i1}displaystyle q=\mathrm {ceil} (y)=piso esquerdo e direito =-esquerda-piso esquerdo -y-direita-piso direito, {\i}

• arredondado para zero (ou truncado, ou arredondado do infinito): q é a parte inteira de y, sem seus dígitos de fração.

q = t r u n c a t e ( y ) = sgn ( y ) ⌊ | y | ⌋ = - sgn ( y ) ⌈ - | y | ⌉ {\displaystyle q=\mathrm {truncate} (y)=-operatornorname (y)-piso esquerdo -piso esquerdo -direita -direita -piso direito -piso direito =--operatornorname (y)-piso esquerdo -direita -piso direito -direita -piso esquerdo -piso esquerdo -direita -piso direito

• arredondado de zero (ou arredondado em direção ao infinito): se y é um número inteiro, q é y; caso contrário q é o número inteiro mais próximo de 0 e é tal que y está entre 0 e q.

q = sgn ( y ) ⌈ | y | ⌉ = - sgn ( y ) ⌊ - | y | ⌋ {\i1}displaystyle q=\i}operatorname {\i}(y)left{\i}lceil {\i}{\i}{\i1}-esquerda-esquerda-ceil {\i}(y)left{\i}lfloor -left{\i}y{\i}rfloor {\i}

• redondo para o mais próximo: q é o número inteiro que está mais próximo de y (veja abaixo as regras de desempate).

Os primeiros quatro métodos são chamados de arredondamento dirigido, pois os deslocamentos do número original y para o valor arredondado q são todos dirigidos para o mesmo valor limite ou afastados dele (0, +∞, ou -∞).

Se y for positivo, arredondar para baixo é o mesmo que arredondar para frente-zero, e arredondar para cima é o mesmo que arredondar para fora-zero. Se y for negativo, arredondamento para baixo é o mesmo que arredondamento para fora de zero, e arredondamento para cima é o mesmo que arredondamento para cima é o mesmo que arredondamento para fora de zero. Em qualquer caso, se y é inteiro, q é apenas y. A tabela a seguir ilustra estes métodos de arredondamento:

Onde muitos cálculos são feitos em seqüência, a escolha do método de arredondamento pode ter um efeito muito significativo sobre o resultado. Um exemplo famoso envolveu um novo índice criado pela Bolsa de Valores de Vancouver em 1982. Foi inicialmente fixado em 1000.000, e após 22 meses tinha caído para cerca de 520 - enquanto os preços das ações tinham geralmente aumentado no período. O problema foi causado pelo índice ser recalculado milhares de vezes ao dia, e sempre arredondado para 3 casas decimais, de tal forma que os erros de arredondamento se acumularam. O recálculo com melhor arredondamento deu um valor de índice de 1098.892 no final do mesmo período.

Arredondar um número y para o inteiro mais próximo requer alguma regra de desempate para aqueles casos em que y está exatamente a meio caminho entre dois inteiros - isto é, quando a parte fracionada de y é exatamente 0,5.

Arredondar metade para cima

A seguinte regra de desempate, chamada de arredondar a metade para cima (ou arredondar a metade para mais infinito), é amplamente utilizada em muitas disciplinas. Ou seja, os valores da metade para cima são sempre arredondados para cima.

• Se a fração de y for exatamente 0,5, então q = y + 0,5.

q = ⌊ y + 0,5 ⌋ = - ⌈ - y - 0,5 ⌉ {\i1}displaystyle q=chão esquerdo y+0,5 direito =-esquerda -y-0,5 direito

Por exemplo, por esta regra, o valor 23,5 é arredondado para 24, mas -23,5 é arredondado para -23.

Esta é uma das duas regras geralmente ensinadas nas aulas de matemática elementar dos EUA. ^[]

Se não fosse pelas frações de 0,5, os erros roundoff introduzidos pelo método de arredondamento mais próximo seriam bastante simétricos: para cada fração que é arredondada para cima (como 0,268), há uma fração complementar (ou seja, 0,732) que é arredondada para baixo, pelo mesmo valor. Ao arredondar um grande conjunto de números com partes fracionárias aleatórias, esses erros de arredondamento se compensariam estatisticamente e o valor esperado (médio) dos números arredondados seria igual ao valor esperado dos números originais.

No entanto, a regra de arredondamento meio para cima de desempate não é simétrica, pois as frações que são exatamente 0,5 sempre são arredondadas para cima. Esta assimetria introduz um viés positivo nos erros de roundoff. Por exemplo, se a fração de y consiste de três dígitos decimais aleatórios, então o valor esperado de q será 0,0005 maior do que o valor esperado de y. Por esta razão, arredondar para cima com a regra de arredondamento pela metade também é (ambiguamente) conhecido como arredondamento assimétrico.

Uma razão para arredondar para cima a 0,5 é que apenas um dígito precisa ser examinado. Ao ver 17.50000..., por exemplo, os três primeiros algarismos, 17,5, determina que o número seria arredondado para 18. Se fosse usada a regra oposta (arredondar metade para baixo), então todas as casas decimais zero precisariam ser examinadas para determinar se o valor é exatamente 17,5.

Redondo pela metade

Pode-se também usar a metade redonda para baixo (ou a metade redonda em direção ao infinito negativo) em oposição à metade redonda mais comum para cima (o método da metade redonda para cima é uma convenção comum, mas nada mais é do que uma convenção).

• Se a fração de y for exatamente 0,5, então q = y - 0,5.

q = ⌈ y - 0,5 ⌉ = - ⌊ - y + 0,5 ⌋ {\i1}displaystyle q=esquerda y-0,5 direita =-esquerda -y+0,5 direita

Por exemplo, 23,5 é arredondado para 23, e -23,5 é arredondado para -24.

A regra da metade redonda para baixo de desempate não é simétrica, pois as frações que são exatamente 0,5 sempre são arredondadas para baixo. Esta assimetria introduz um viés negativo nos erros de roundoff. Por exemplo, se a fração de y consiste de três dígitos decimais aleatórios, então o valor esperado de q será 0,0005 menor do que o valor esperado de y. Por esta razão, arredondar para baixo com a regra de arredondamento da metade para baixo também é (ambiguamente) conhecido como arredondamento assimétrico.

A meio do zero

O outro método de desempate comumente ensinado e utilizado é a metade redonda a partir de zero (ou metade redonda em direção ao infinito), ou seja, a metade redonda a partir de zero (ou metade redonda em direção ao infinito):

• Se a fração de y for exatamente 0,5, então q = y + 0,5 se y for positivo, e q = y - 0,5 se y for negativo.

q = sgn ( y ) ⌊ | y| + 0.5 ⌋ = - sgn ( y ) ⌈ - | y | - 0.5 ⌉ {\displaystyle q===operaatorname {sgn}(y)left flooror {\disfloor {\disfloor {\disgn}(y)leftornorname {\displaystyle q=-operaatorname {\disgn}(y)leftornorname {\disgn}(y)leftornorname {\disgn}(y)leftornorname {\disgn}(y)leftorname {\disgn}(y)leftorname {\disgn}(y)leftorname {\disgn}(y)leftorname |--0.5{\disgn}(y)leftornorname

Por exemplo, 23,5 é arredondado para 24, e -23,5 é arredondado para -24.

Este método trata os valores positivos e negativos simetricamente e, portanto, é livre de preconceitos gerais se os números originais forem positivos ou negativos com igual probabilidade. Entretanto, esta regra ainda introduzirá um viés positivo para os números positivos, e um viés negativo para os negativos.

É freqüentemente utilizado para conversões de moeda e arredondamentos de preços (quando o montante é convertido pela primeira vez na menor subdivisão significativa da moeda, como centavos de um euro), como é fácil de explicar considerando apenas o primeiro dígito fracionário, independentemente dos dígitos de precisão suplementares ou sinal do montante (para uma equivalência rigorosa entre o pagamento e o destinatário do montante).

Meio redondo em direção a zero

Pode-se também arredondar a metade para zero (ou arredondar a metade do infinito) em oposição à metade mais comum a partir do zero (a metade arredondada a partir do zero é uma convenção comum, mas nada mais é do que uma convenção).

• Se a fração de y for exatamente 0,5, então q = y - 0,5 se y for positivo, e q = y + 0,5 se y for negativo.

q = sgn ( y ) ⌈ | y| - 0.5 ⌉ = - sgn ( y ) ⌊ - | y | + 0.5 ⌋ {\displaystyle q={\displaystyle q==operaatorname {\disgn}(y)left=lceil {\disfloor {\disgn}(y)left=-operaatorname {\disgn}(y)left=y=+0.5{\disfloor {\disgn}(y)left=-operaatorname

Por exemplo, 23,5 é arredondado para 23, e -23,5 é arredondado para -23.

Este método também trata valores positivos e negativos simetricamente e, portanto, é livre de preconceitos gerais se os números originais forem positivos ou negativos com igual probabilidade. Entretanto, esta regra ainda introduzirá um viés negativo para os números positivos, e um viés positivo para os números negativos.

Metade redonda a

Uma regra de desempate ainda menos tendenciosa é redonda, de meio a meio, a saber

• Se a fração de y for 0,5, então q é o número inteiro par mais próximo de y.

Assim, por exemplo, +23,5 passa a +24, +22,5 passa a +22, -22,5 passa a -22, e -23,5 passa a -24.

Este método também trata valores positivos e negativos simetricamente e, portanto, é livre de preconceitos gerais se os números originais forem positivos ou negativos com igual probabilidade. Além disso, para a maioria das distribuições razoáveis de valores y, o valor esperado (médio) dos números arredondados é essencialmente o mesmo que o dos números originais, mesmo que estes últimos sejam todos positivos (ou todos negativos). Entretanto, esta regra ainda introduzirá um viés positivo para os números pares (incluindo zero), e um viés negativo para os números ímpares.

Esta variante do método round-to-nearest também é chamada de arredondamento imparcial (ambíguo e um pouco abusivo), arredondamento convergente, arredondamento estatístico, arredondamento holandês, arredondamento gaussiano, ou arredondamento dos banqueiros. Isto é amplamente utilizado na escrituração contábil.

Este é o modo de arredondamento padrão usado nas funções de computação e operadores IEEE 754.

De meio a ímpar

Outra regra de desempate que é muito semelhante à metade redonda a igual, a saber

• Se a fração de y for 0,5, então q é o número inteiro estranho mais próximo de y.

Assim, por exemplo, +22,5 passa a +23, +21,5 passa a +21, -21,5 passa a -21, e -22,5 passa a -23.

Este método também trata valores positivos e negativos simetricamente e, portanto, é livre de preconceitos gerais se os números originais forem positivos ou negativos com igual probabilidade. Além disso, para a maioria das distribuições razoáveis de valores y, o valor esperado (médio) dos números arredondados é essencialmente o mesmo que o dos números originais, mesmo que estes últimos sejam todos positivos (ou todos negativos). Entretanto, esta regra ainda introduzirá um viés negativo para os números pares (incluindo zero), e um viés positivo para os números ímpares.

Esta variante quase nunca é utilizada na maioria dos cálculos, exceto em situações em que se quer evitar arredondamento de 0,5 ou -0,5 para zero, ou para evitar aumentar a escala de números representados como ponto flutuante (com faixas limitadas para o expoente de escala), de modo que um número não infinito seria arredondado para infinito, ou que um pequeno valor denormal seria arredondado para um valor normal não nulo (estes poderiam ocorrer com a metade arredondada para modo uniforme). Efetivamente, este modo prefere preservar a escala existente de números de empate, evitando resultados fora da escala quando possível.

Arredondamento estocástico

Outro método imparcial de ruptura de laços é o arredondamento estocástico:

• Se a parte fracionária de y for .5, escolha q aleatoriamente entre y + 0,5 e y - 0,5, com igual probabilidade.

Como a regra de arredondamento, esta regra é essencialmente livre de preconceitos gerais; mas também é justa entre valores q pares e ímpares. Por outro lado, ela introduz um componente aleatório no resultado; realizar o mesmo cálculo duas vezes sobre os mesmos dados pode produzir dois resultados diferentes. Além disso, está aberto a viés inconsciente se os seres humanos (ao invés de computadores ou dispositivos do acaso) estiverem "aleatoriamente" decidindo em que direção arredondar.

Quebra de gravata alternada

Um método, mais obscuro do que a maioria, é redondo e meio alternado.

• Se a parte fracionária for 0,5, alternar arredondamento para cima e para baixo: para a primeira ocorrência de uma parte fracionária 0,5, arredondar para cima; para a segunda ocorrência, arredondar para baixo; e assim por diante.

Isto suprime o componente aleatório do resultado, se ocorrências de 0,5 partes fracionárias puderem ser efetivamente numeradas. Mas ainda pode introduzir um viés positivo ou negativo de acordo com a direção de arredondamento atribuída à primeira ocorrência, se o número total de ocorrências for ímpar.

Em alguns contextos, todos os métodos de arredondamento acima podem ser insatisfatórios. Por exemplo, suponha que y seja uma medida precisa de um sinal de áudio, que está sendo arredondado para um q inteiro a fim de reduzir os custos de armazenamento ou transmissão. Se y mudar lentamente com o tempo, qualquer um dos métodos de arredondamento acima resultará em q completamente constante por longos intervalos, separados por saltos repentinos de ±1. Quando o sinal q for reproduzido, estes passos serão ouvidos como um ruído muito desagradável, e quaisquer variações do sinal original entre dois valores inteiros serão completamente perdidas.

Uma maneira de evitar este problema é arredondar cada valor y para cima com probabilidade igual à sua fração, e arredondá-lo para baixo com o complemento dessa probabilidade. Por exemplo, o número 23,17 seria arredondado para 24 com probabilidade 0,17, e para 23 com probabilidade 1 - 0,17 = 0,83. (Isto é equivalente ao arredondamento para baixo y + s, onde s é um número aleatório uniformemente distribuído entre 0 e 1). Com este arredondamento especial, conhecido como dithering, os passos repentinos são substituídos por um ruído menos censurável, e mesmo pequenas variações no sinal original serão preservadas até certo ponto. Assim como a abordagem estocástica para quebrar o empate, o dithering não tem nenhum viés: se todos os valores de fração forem igualmente prováveis, o arredondamento para cima por uma certa quantidade é tão provável quanto o arredondamento para baixo por essa mesma quantidade; e o mesmo é verdadeiro para a soma de vários números arredondados. Por outro lado, o dithering introduz um componente aleatório no resultado, muito maior do que o de rompimento estocástico de tirantes.

Mais precisamente, o erro roundoff para cada número dithered será uma variável aleatória uniformemente distribuída com valor médio de zero, mas com um desvio padrão 1 / 12 ≈ 0,2886 {\\i1}{\i1}displaystyle 1/{\i}{\i1}approx 0,2886} que é melhor que 1/2 desvio padrão com os métodos preditivos simples, mas um pouco mais alto que com o método estocástico mais simples. Entretanto, a soma de n números arredondados será uma variável aleatória com erro zero esperado, mas com desvio padrão n / 12 {\i1}/{\i1}/{\i1}}displaystyle {\i}/{\i1}displaystyle {\i} (o ruído total restante) que diverge semi-quadraticamente e pode tornar-se facilmente perceptível, mesmo que o desvio padrão do erro roundoff por amostra seja 1 / 12 n {\i1}} que converge lentamente semi-quadraticamente para zero. Portanto, esta distribuição aleatória ainda pode ser muito alta para algumas aplicações que estão arredondando muitos dados.

Esta variante do método de dithering simples ainda arredonda valores com probabilidade igual à sua fração. Entretanto, ao invés de usar uma distribuição aleatória para arredondar amostras isoladas, o erro de roundoff que ocorre em cada amostra arredondada é totalizado para os próximos elementos circundantes a serem amostrados ou computados; este valor acumulado é então adicionado ao valor destes próximos valores amostrados ou computados a serem arredondados, para que os valores modificados levem em conta esta diferença usando um modelo preditivo (como o dithering de Floyd-Steinberg).

Os valores modificados são então arredondados com qualquer um dos métodos de arredondamento acima, sendo os melhores com métodos estocásticos ou de dithering: neste último caso, a soma de n números arredondados ainda será uma variável aleatória com erro zero esperado, mas com um excelente desvio padrão constante de 1 / 12 {\i1}{12}}. Em vez de divergir semi-quadraticamente ao ditar amostras isoladas; e a média geral do desvio de erro roundoff por amostra arredondada será de 1 / ( n 12 ) {\i1} que convergirá hiperbolicamente para zero, mais rápido do que com a convergência semi-hiperbólica ao ditar amostras isoladas.

Na prática, ao arredondar grandes conjuntos de dados amostrados (como áudio, imagem e renderização de vídeo), o acúmulo de erros roundoff é mais freqüentemente utilizado com um simples arredondamento preditivo dos valores modificados (como arredondamento em direção a zero), pois ainda preservará a convergência hiperbólica em direção a zero do viés geral de erro roundoff médio e de seu desvio padrão. Esta melhoria é freqüentemente usada no processamento de imagem e áudio (notavelmente para operações precisas de redimensionamento e antialiasing, onde o simples dithering probabilístico de valores isolados ainda pode produzir ruído perceptível, às vezes até pior que os efeitos moiré que ocorrem com métodos simples de arredondamento não-probabilísticos aplicados a amostras isoladas).

A propagação efetiva de erros roundoff acumulados pode depender da dimensão discreta dos dados amostrados para arredondar: ao amostrar imagens bidimensionais, incluindo imagens coloridas (que adicionam a dimensão discreta de planos coloridos), ou vídeos tridimensionais (que adicionam uma dimensão discreta de tempo), ou dados de áudio polifônicos (usando o tempo e as dimensões discretas de canal), ainda pode ser preferível propagar este erro em uma direção preferida, ou igualmente em várias dimensões ortogonais, tais como verticalmente vs. horizontalmente para imagens bidimensionais, ou em canais de cor paralelos na mesma posição e/ou timestamp, e dependendo de outras propriedades destas dimensões ortogonais discretas (de acordo com um modelo de percepção). Nesses casos, vários acumuladores de erros roundoff podem ser usados (pelo menos um para cada dimensão discreta), ou um vetor (ou matriz) de dimensões (n-1) de acumuladores.

Em alguns desses casos, as dimensões discretas dos dados a serem amostrados e arredondados podem ser tratadas de forma não ortogonal: por exemplo, ao trabalhar com imagens coloridas, os dados dos planos de cor tricromáticos em cada dimensão física (altura, largura e opcionalmente tempo) poderiam ser refeitos usando um modelo de cor perceptiva, de modo que os acumuladores de erros roundoff sejam projetados para preservar a leveza com maior probabilidade do que a tonalidade ou saturação, em vez de propagar erros em cada plano de cor ortogonal independentemente; e em dados de áudio estereofônicos os dois canais de dados arredondados (esquerda e direita) podem ser arredondados juntos para preservar seu valor médio em prioridade a sua diferença efetiva que absorverá a maioria dos erros roundoff restantes, de forma equilibrada em torno de zero.

Em alguns contextos é desejável arredondar um determinado número x para uma fração "limpa" - ou seja, a fração mais próxima z = m/n cujo numerador m e denominador n não excedem um determinado máximo. Este problema é bastante distinto do de arredondar um valor para um número fixo de dígitos decimais ou binários, ou para um múltiplo de uma determinada unidade m. Este problema está relacionado às seqüências de Farey, à árvore Stern-Brocot, e às frações contínuas.

Este tipo de arredondamento, que também é denominado arredondamento para uma escala logarítmica, é uma variante do arredondamento para um incremento especificado, mas com um incremento que é modificado dependendo da escala e da magnitude do resultado. Concretamente, a intenção é limitar o número de dígitos significativos, arredondando o valor para que os dígitos não significativos sejam descartados. Este tipo de arredondamento ocorre implicitamente com números computados com valores de ponto flutuante com precisão limitada (como IEEE-754 float e tipos duplos), mas pode ser usado mais geralmente para arredondar quaisquer valores reais com qualquer número positivo de dígitos significativos e qualquer base real estritamente positiva.

Por exemplo, pode ser usado em gráficos de engenharia para representar dados com uma escala logarítmica com passos variáveis (por exemplo, comprimentos de onda, cuja base não é necessariamente uma medida inteira), ou em dados estatísticos para definir classes de valores reais em intervalos de larguras exponencialmente crescentes (mas o uso mais comum é com bases inteiras, como 10 ou 2). ^[fonte?].

Este tipo de arredondamento é baseado em uma escala logarítmica definida por um fator de escala real fixo não zero s (na maioria dos casos este fator é s=1) e uma base positiva fixa b>1 (não necessariamente um número inteiro e na maioria das vezes diferente do fator de escala), e um número inteiro fixo n>0 de dígitos significativos nessa base (que determinará o valor do incremento a ser usado para arredondamento, juntamente com a escala efetiva computada do número arredondado).

O número do argumento primário (assim como o número arredondado resultante) é representado primeiramente na notação exponencial x = s-a-m-bc, de modo que o sinal s é +1 ou -1, o mantissa a absoluto é restrito ao intervalo positivo semiaberto [1/b,1), e o expoente c é qualquer número inteiro (positivo ou negativo). Nessa representação, todos os dígitos significativos estão na parte fracionária da mantissa absoluta cuja parte inteira é sempre zero.

Se o número da fonte (ou número arredondado) for 0, a mantisssa a absoluta é definida como 0, o expoente c é fixado a um valor arbitrário (0 na maioria das convenções, mas algumas representações de ponto flutuante não podem usar uma mantisssa absoluta nula, mas reservam um valor negativo máximo específico para que o expoente c represente o próprio número 0), e os sinais s podem ser arbitrariamente escolhidos entre -1 ou +1 (geralmente é definido para +1 para zero simples, ou é definido para o mesmo sinal do argumento no valor arredondado se a representação numérica permitir diferenciar zeros positivos e negativos, mesmo que finalmente representem o mesmo valor numérico 0).

Uma representação exponencial em escala como x = a-s-bc também pode ser utilizada de forma equivalente, com uma mantissa assinada igual a zero ou dentro de um dos dois intervalos semi-abertos (-1,-1/b] e [+1/b,+1), e este será o caso no algoritmo abaixo.

Os passos para calcular este arredondamento em escala são geralmente similares aos seguintes:

1. se x for igual a zero, simplesmente devolva x; caso contrário:
2. converter x na representação exponencial em escala, com uma mantissa assinada:
   x = a ⋅ s ⋅ b c {\i1}displaystyle x=a{\i1}cdot s{\i}cdot b^{c},}
1. que x' seja o valor não escalonado de x, dividindo-o pelo fator de escalonamento s:
   x ′ = x / s {\displaystyle x'=x/s\,} ;
2. deixar o expoente de escala c ser um mais o logaritmo base-b do valor absoluto de x', arredondado para baixo para um número inteiro (para menos infinito):
   c = 1 + ⌊ log b | x ′ | ⌋ = 1 + ⌊ log b | x / s | ⌋ {\i1}displaystyle c=1+esquerda do chão de exposição |log _{b}left|x'|right|x'|right|rfloor =1+esquerda do chão de exposição |log _{b}left|x/sright|right|rfloor {\i} ;
3. deixar a mantissa assinada ser um produto de x' dividido por b ao poder c:
   a = x ′ ⋅ b - c = x / s ⋅ b - c {\\i1}displaystyle a=x'{\i}=x/s=cdot b^{\i},}
3. computar o valor arredondado nesta representação:
1. let c' be the initial scaling exponent c of x':
   c ′ = c {\\i1}c'=c,}
2. que m seja o incremento para arredondar a mantissa a de acordo com o número de dígitos significativos a manter:
   m = b - n {\i1}displaystyle m=b^{-n},}
3. a' seja a mantissa a assinada e arredondada de acordo com este incremento m e o modo de arredondamento selecionado:
   a ′ = r o u n d ( a , m ) = r o u n d ( x / s ⋅ b n - c ′ ) ⋅ b - n {\i1}displaystyle a'=mathrm {round} (a,m)=mathrm {round} (x/s) b^{n-c'})^cdot b^{-n,}
4. se o valor absoluto de a' não for inferior a b, então diminua n (multiplique o incremento m por b), aumente o expoente de escala c', divida a mantissa a assinada por b, e reinicie o arredondamento da nova mantissa a assinada a' em a' com a mesma fórmula; este passo só pode ser evitado se a função abtract "round()" estiver sempre arredondando a em direção a 0 (i.e. quando é um simples truncamento), mas é necessário se pode estar arredondando a em direção ao infinito, porque a mantissa arredondada pode ter um expoente de escala superior neste caso, deixando um dígito extra de precisão.
4. devolver o valor arredondado:
   y = s c a l e d r o u n d ( x , s , b , n ) = a ′ ⋅ s ⋅ b c ′ = r o u n d ( x / s ⋅ b n - c ′ ) ⋅ s ⋅ b c ′ - n {\\i1}displaystyle y=\mathrm {\i1}(x,s,b,n)=a'cdot s,cdot s,cdot b^{c'}=mathrm (x/s,cdot b^{n-c'}){cdot s,cdot s,cdot b^{c'-n,} .

Para a função abstrata "round()", este tipo de arredondamento pode usar qualquer um dos arredondamentos para modos inteiros descritos mais completamente na próxima seção, mas na maioria das vezes é o arredondamento para o modo mais próximo (com regras de desempate também descritas mais completamente abaixo).

Por exemplo:

• o arredondamento em escala de 1.234 com fator de escala 1 na base 10 e 3 dígitos significativos (precisão relativa máxima=1/1000), ao usar qualquer arredondamento para o modo mais próximo, retornará 1,23;
• arredondamento em escala semelhante de 1.236 retornará 1.24;
• arredondamento em escala semelhante de 21.236 retornará 21.2;
• arredondamento em escala semelhante de 321.236 retornará 321;
• o arredondamento em escala de 1,234 fator de escala 1 na base 10 e 3 dígitos significativos (precisão relativa máxima=1/1000), ao usar o modo de arredondamento para baixo, retornará 1,23;
• arredondamento em escala semelhante de 1.236 também retornará 1.23;
• o arredondamento em escala de 3 π / 7 ≈ 6.8571 ⋅ π ⋅ 2 - 4 {\i}displaystyle {\i}scriptstyle 3\i /7;{\i}approx {\i}6.8571cdot {\i } {\i } com fator de escala π {\i {\i {\i {\i } no estilo de redondeamento 2 e 3 dígitos significativos (precisão relativa máxima=1/8), ao usar o modo redondo para baixo, retornará 6 ⋅ π 2 - 4 = 3 π / 8 {\i {\i {\i {\i} {\i {\i} {\i {\i} {\i {\i} {\i {\i} {\i {\i} {\i} {\i {\i} {\i {\i} {\i1};
• arredondamento similar em escala de 5 π / 7 ≈ 5.7143 ⋅ π ⋅ 2 - 3 {\i1}displaystyle {\i}scriptstyle 5\i / 7\i; aprox. 5.7143\i {\i}cdot 2^cdot 2^{-3} voltará 5 ⋅ π ⋅ 2 - 3 = 5 π / 8 {\i}displaystyle {\i}scriptstyle 5{\i}cdot 2^{-3\i {\i};=;5\i /
• arredondamento similar em escala de π / 7 ≈ 4.5714 ⋅ π ⋅ 2 - 5 {\i1}estilo de redação estilo de redação {\i /7};aprox. 4.5714 {\i1}cdot 2 ^cdot 2^{-5} voltará 4 ⋅ π ⋅ 2 - 5 = π / 8 {\i1}estilo de redação estilo de redação 4 ^cdot 2^{-5};=;^pi /8} .
• arredondamento similar em escala de π / 8 = 4 ⋅ π ⋅ 2 - 5 {\i1}estilo de redação {\i /8};=;4 {\i1}cdot 2^{-5}} também retornará 4 ⋅ π ⋅ 2 - 5 = π / 8 {\i1}estilo de redação {\i}estilo de redação 4^{-5};=;^\i /8} .
• arredondamento similar em escala de π / 15 ≈ 4.2667 ⋅ π ⋅ 2 - 6 {\i1}estilo de redação estilo de texto 4 {\i};aprox. 4.2667 {\i1}cdot 2 ^cdot 2^{-6} voltará 4 ⋅ π ⋅ 2 - 6 = π / 16 {\i1}estilo de redação 4 ^cdot 2^{-6};=;^pi /16 .

Madeira acabada, papel para escrita, capacitores e muitos outros produtos são normalmente vendidos em apenas alguns tamanhos padrão.

Muitos procedimentos de projeto descrevem como calcular um valor aproximado, e depois "arredondar" para algum tamanho padrão usando frases como "arredondar para baixo para o valor padrão mais próximo", "arredondar para cima para o valor padrão mais próximo", ou "arredondar para o valor padrão mais próximo".

Quando um conjunto de valores preferidos é igualmente espaçado em uma escala logarítmica, a escolha do valor preferido mais próximo a um determinado valor pode ser vista como uma espécie de arredondamento em escala. Tais valores "arredondados" podem ser calculados diretamente.

Na aritmética de ponto flutuante, o arredondamento visa transformar um determinado valor x em um valor z com um número especificado de dígitos significativos. Em outras palavras, z deve ser um múltiplo de um número m que depende da magnitude de z. O número m é uma potência da base (geralmente 2 ou 10) da forma de vírgula flutuante.

Além deste detalhe, todas as variantes de arredondamento discutidas acima também se aplicam ao arredondamento dos números de pontos flutuantes. O algoritmo para tais arredondamentos é apresentado na seção Arredondamento em escala acima, mas com um fator de escala constante s=1, e uma base inteira b>1.

Para resultados onde o resultado arredondado transbordaria, o resultado para um arredondamento direcionado é ou o infinito assinado apropriado, ou o número finito positivo mais alto representativo (ou o número finito negativo mais baixo representativo, se x for negativo), dependendo da direção do arredondamento. O resultado de um transbordo para o caso usual de arredondamento até o infinito é sempre o infinito apropriado.

Além disso, se o resultado arredondado for inferior, ou seja se o expoente exceder o menor valor inteiro representativo, o resultado efetivo pode ser zero (possivelmente assinado se a representação puder manter uma distinção de sinais para zeros), ou o menor número finito positivo positivo (ou o maior número finito negativo representativo se x for negativo), possivelmente um número positivo ou negativo denormal (se a mantissa estiver armazenando todos os seus dígitos significativos, Neste caso, o dígito mais significativo ainda pode ser armazenado em uma posição mais baixa, colocando os dígitos mais altos armazenados em zero, e esta mantissa armazenada não deixa cair o dígito mais significativo, algo que é possível quando a base b=2 porque o dígito mais significativo é sempre 1 naquela base), dependendo da direção do arredondamento. O resultado de um subfluxo para o caso usual de arredondamento a zero é sempre o zero apropriado.

O arredondamento de um número duas vezes consecutivas para diferentes precisões, sendo esta última precisão mais grosseira, não garante o mesmo resultado que o arredondamento uma vez para a precisão final, exceto no caso de arredondamento direcionado. Por exemplo, o arredondamento de 9,46 para uma casa decimal dá 9,5, e depois 10 ao arredondar para inteiro usando arredondamento pela metade para igual, mas daria 9 ao arredondar diretamente para inteiro.

Alguns idiomas de computador e a norma IEEE 754-2008 determinam que, em cálculos simples, o resultado não deve ser arredondado duas vezes. Este tem sido um problema particular com Java, uma vez que foi projetado para ser executado de forma idêntica em máquinas diferentes, foi necessário utilizar truques especiais de programação para conseguir isto com o ponto flutuante x87. A linguagem Java foi modificada para permitir resultados diferentes onde a diferença não importa e requer um qualificador "strictfp" a ser usado quando os resultados têm que estar em conformidade com precisão.

É possível usar aritmética arredondada para avaliar o valor exato de uma função com um domínio e alcance discretos. Por exemplo, se sabemos que um número inteiro n é um quadrado perfeito, podemos calcular sua raiz quadrada convertendo n para um valor de ponto flutuante x, calculando a raiz quadrada aproximada y de x com ponto flutuante, e então arredondando y para o número inteiro mais próximo q. Se n não for muito grande, o erro de roundoff de ponto flutuante em y será inferior a 0,5, então o valor arredondado q será a raiz quadrada exata de n. Na maioria dos computadores modernos, este método pode ser muito mais rápido do que calcular a raiz quadrada de n por um algoritmo de todos os números.

William Kahan cunhou o termo "O Dilema do Fazedor de Mesa" pelo custo desconhecido do arredondamento de funções transcendentais:

"Ninguém sabe quanto custaria calcular y^w corretamente arredondado para cada dois argumentos de vírgula flutuante em que não transborda/sobre-flui. Em vez disso, bibliotecas matemáticas conceituadas computam funções transcendentais elementares em sua maioria dentro de pouco mais da metade de um ulp e quase sempre bem dentro de um ulp. Por que Y^W não pode ser arredondado dentro da metade de um ulp como o SQRT? Porque ninguém sabe quanto custaria calcular... Não existe uma maneira geral de prever quantos dígitos extras terão que ser levados para calcular uma expressão transcendental e arredondá-la corretamente para algum número de dígitos pré-atribuídos. Mesmo o fato (se for verdade) de que um número finito de dígitos extras será, em última análise, suficiente pode ser um teorema profundo".

O padrão IEEE de ponto flutuante garante que adicionar, subtrair, multiplicar, dividir, raiz quadrada e o restante do ponto flutuante dará o resultado arredondado corretamente da operação de precisão infinita. Entretanto, nenhuma garantia desse tipo é dada para funções mais complexas e normalmente são apenas precisas até o último bit, na melhor das hipóteses.

Usando o teorema de Gelfond-Schneider e o teorema de Lindemann-Weierstrass, muitas das funções elementares padrão podem ser comprovadas como retornando resultados transcendentais quando dadas razões racionais que não sejam zero; portanto, é sempre possível arredondar corretamente tais funções. Entretanto, determinar um limite para uma dada precisão sobre como os resultados precisos precisam ser computados antes que um resultado corretamente arredondado possa ser garantido pode exigir muito tempo de computação.

Agora existem alguns pacotes que oferecem total precisão. O pacote MPFR oferece resultados de precisão arbitrária arredondados corretamente. A IBM escreveu um pacote para funções elementares IEEE rápidas e precisas e, no futuro, as bibliotecas padrão poderão oferecer tal precisão.

É possível elaborar números calculáveis bem definidos que talvez nunca seja possível arredondar corretamente, não importa quantos dígitos sejam calculados. Por exemplo, se a conjectura de Goldbach for verdadeira, mas não comprovável, então é impossível arredondar corretamente 0,5 + 10-n onde n é o primeiro número par maior que 4 que não é a soma de dois primes, ou 0,5 se não houver tal número. Isto pode, no entanto, ser aproximado a qualquer precisão, mesmo que a conjectura seja impraticável.

O conceito de arredondamento é muito antigo, talvez até mais antigo do que o conceito de divisão. Alguns antigos comprimidos de argila encontrados na Mesopotâmia contêm tabelas com valores arredondados de recíprocos e raízes quadradas na base 60. As aproximações arredondadas para π, a duração do ano, e a duração do mês também são antigas.

O método Round-to-even tem servido como o padrão ASTM (E-29) desde 1940. A origem dos termos arredondamento imparcial e arredondamento estatístico são bastante auto-explicativos. Na 4ª edição de 1906 da Probabilidade e Teoria dos Erros Robert Simpson Woodward chamou isso de "regra do computador" indicando que era então de uso comum dos computadores humanos que calculavam tabelas matemáticas. O documento de Churchill Eisenhart de 1947 "Effects of Rounding or Grouping Data" (em Selected Techniques of Statistical Analysis, McGrawHill, 1947, Eisenhart, Hastay, e Wallis, editores) indicou que a prática já estava "bem estabelecida" na análise de dados.

A origem do termo "arredondamento dos banqueiros" permanece mais obscura. Se este método de arredondamento já foi um padrão em bancos, as evidências se mostraram extremamente difíceis de encontrar. Pelo contrário, a seção 2 do relatório da Comissão Européia A Introdução do Euro e o Arredondamento dos Valores em Moeda sugere que anteriormente não havia uma abordagem padrão de arredondamento nos bancos; e especifica que os valores "a meio caminho" devem ser arredondados para cima.

Até os anos 80, o método de arredondamento usado na aritmética de computador de ponto flutuante era geralmente fixado pelo hardware, mal documentado, inconsistente e diferente para cada marca e modelo de computador. Esta situação mudou após o padrão IEEE 754 de ponto flutuante ter sido adotado pela maioria dos fabricantes de computadores. A norma permite ao usuário escolher entre vários modos de arredondamento e, em cada caso, especifica precisamente como os resultados devem ser arredondados. Estas características tornaram os cálculos numéricos mais previsíveis e independentes da máquina e tornaram possível a implementação eficiente e consistente da aritmética de intervalos.

A maioria das linguagens de programação fornece funções ou sintaxe especial para arredondar números fracionários de várias maneiras. As primeiras linguagens numéricas, como FORTRAN e C, forneceriam apenas um método, geralmente truncamento (em direção a zero). Este método padrão poderia estar implícito em certos contextos, como ao atribuir um número fracionário a uma variável inteira, ou ao usar um número fracionário como índice de um array. Outros tipos de arredondamento tinham que ser programados explicitamente; por exemplo, o arredondamento de um número positivo para o inteiro mais próximo poderia ser implementado adicionando 0,5 e truncando.

Nas últimas décadas, entretanto, a sintaxe e/ou as bibliotecas padrão da maioria dos idiomas têm geralmente fornecido pelo menos as quatro funções básicas de arredondamento (para cima/teto, para baixo/piso, para mais perto e para zero). O método de arredondamento pode variar dependendo do idioma e da versão, e/ou pode ser selecionado pelo programador. Vários idiomas seguem o padrão de ponto flutuante IEEE-754, e definem estas funções como pegando um argumento de flutuação de dupla precisão e retornando o resultado do mesmo tipo, que então pode ser convertido em um número inteiro se necessário. Como o formato de dupla precisão do IEEE tem 52 bits de fração, esta abordagem pode evitar transbordamentos espúrios em idiomas com números inteiros de 32 bits. Algumas linguagens, como PHP, fornecem funções que arredondam um valor para um número especificado de dígitos decimais, por exemplo, de 4321.5678 para 4321.57 ou 4300. Além disso, muitas línguas fornecem uma função de formatação de string "printf" ou similar, que permite converter um número fracionário para uma string, arredondado para um número especificado pelo usuário de casas decimais (a precisão). Por outro lado, a truncagem (arredondamento para zero) ainda é o método de arredondamento padrão usado por muitos idiomas, especialmente para a divisão de dois valores inteiros.

Ao contrário, CSS e SVG não definem nenhuma precisão máxima específica para números e medidas, que são tratados e expostos em seu Modelo de Objeto de Documento e em sua interface de linguagem de descrição de interface como se tivessem precisão infinita, e não discriminam entre números inteiros e valores de ponto flutuante; entretanto, as implementações destas linguagens tipicamente converterão estes números em IEEE-754 pontos flutuantes duplos antes de expor os dígitos computados com uma precisão limitada (notavelmente dentro dos enlaces de interface padrão Javascript ou ECMAScript).

Algumas disciplinas ou instituições emitiram normas ou diretrizes para o arredondamento.

Observações meteorológicas dos EUA

Em uma diretriz emitida em meados de 1996, o Escritório do Coordenador Federal de Meteorologia dos Estados Unidos determinou que os dados meteorológicos deveriam ser arredondados para o número redondo mais próximo, com a regra de desempate "arredondado pela metade". Por exemplo, 1,5 arredondado para o número inteiro deveria ser 2, e -1,5 deveria ser -1. Antes dessa data, a regra de desempate era "arredondar pela metade a partir de zero".

Negativo zero em meteorologia

Alguns meteorologistas podem escrever "-0" para indicar uma temperatura entre 0,0 e -0,5 graus (exclusiva) que foi arredondada para inteiro. Esta notação é usada quando o sinal negativo é considerado importante, não importa quão pequena seja a magnitude; por exemplo, quando temperaturas de arredondamento na escala Celsius, onde abaixo de zero indica congelamento. ^[]

• Precisão aritmética