Teorema

Um teorema é uma idéia comprovada em matemática. Os teoremas são provados usando lógica e outros teoremas que já foram provados. Um teorema que alguém deve provar para que ele possa provar outro teorema é chamado de lema. Os teoremas são feitos de duas partes, há hipóteses e conclusões.

Os teoremas utilizam a dedução, em contraste com as teorias empíricas.

Alguns teoremas são triviais, eles seguem diretamente das proposições. Outros teoremas são chamados de "profundos", sua prova é longa e difícil. Algumas vezes, tais provas envolvem outras áreas da matemática ou mostram conexões entre diferentes áreas. Um teorema pode ser simples de afirmar e ainda assim ser profundo. Um excelente exemplo é o Último Teorema de Fermat, e há muitos outros exemplos de teoremas simples mas profundos na teoria dos números e combinatórias, entre outras áreas.

Há outros teoremas para os quais se conhece uma prova, mas que não pode ser facilmente escrita. Entre os melhores exemplos estão o teorema de quatro cores e a conjectura de Kepler. Ambos os teoremas só são conhecidos como verdadeiros reduzindo-os a uma busca computacional que é então verificada por um programa de computador. No início, muitos matemáticos não aceitaram esta forma de prova, mas ela se tornou mais amplamente aceita nos últimos anos. O matemático Doron Zeilberger chegou ao ponto de afirmar que estes são possivelmente os únicos resultados não triviais que os matemáticos já provaram. Muitos teoremas matemáticos podem ser reduzidos a cálculos mais simples, incluindo identidades polinomiais, trigonométricas e hipergeométricas.