Teorema
Um teorema é uma idéia comprovada em matemática. Os teoremas são provados usando lógica e outros teoremas que já foram provados. Um teorema que alguém deve provar para que ele possa provar outro teorema é chamado de lema. Os teoremas são feitos de duas partes, há hipóteses e conclusões.
Os teoremas utilizam a dedução, em contraste com as teorias empíricas.
Alguns teoremas são triviais, eles seguem diretamente das proposições. Outros teoremas são chamados de "profundos", sua prova é longa e difícil. Algumas vezes, tais provas envolvem outras áreas da matemática ou mostram conexões entre diferentes áreas. Um teorema pode ser simples de afirmar e ainda assim ser profundo. Um excelente exemplo é o Último Teorema de Fermat, e há muitos outros exemplos de teoremas simples mas profundos na teoria dos números e combinatórias, entre outras áreas.
Há outros teoremas para os quais se conhece uma prova, mas que não pode ser facilmente escrita. Entre os melhores exemplos estão o teorema de quatro cores e a conjectura de Kepler. Ambos os teoremas só são conhecidos como verdadeiros reduzindo-os a uma busca computacional que é então verificada por um programa de computador. No início, muitos matemáticos não aceitaram esta forma de prova, mas ela se tornou mais amplamente aceita nos últimos anos. O matemático Doron Zeilberger chegou ao ponto de afirmar que estes são possivelmente os únicos resultados não triviais que os matemáticos já provaram. Muitos teoremas matemáticos podem ser reduzidos a cálculos mais simples, incluindo identidades polinomiais, trigonométricas e hipergeométricas.
O teorema de Pitágoras tem pelo menos 370 provas conhecidas.
Livros
- Heath, Sir Thomas Little (1897), The works of Archimedes, Dover, recuperado em 2009-11-15
- Hoffman, P. (1998). The Man Who Loved Only Numbers: A História de Paulo Erdős e a Busca da Verdade Matemática. Hyperion, Nova York.
- Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). "A = B". A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. Link externo em |title= (ajuda)CS1 maint: nomes múltiplos: lista de autores (link)
Perguntas e Respostas
P: O que é um teorema?
R: Um teorema é uma idéia que se provou ser verdadeira em matemática, usando lógica e outros teoremas que já foram provados.
P: O que é um lema?
R: Um lema é um teorema menor que se deve provar para provar um teorema maior.
P: Como se compõe um teorema?
R: Os teoremas são feitos de duas partes - hipóteses e conclusões - e usam a dedução em vez de teorias empíricas.
P: Todos os teoremas são difíceis de serem provados?
R: Não, alguns teoremas são triviais, uma vez que resultam diretamente de proposições, enquanto outros exigem provas longas e difíceis que envolvem outras áreas da matemática ou mostram conexões entre diferentes áreas.
P: Um teorema pode ser simples, mas profundo?
R: Sim, um exemplo disso seria o Último Teorema de Fermat, que é simples de dizer, mas sua prova é longa e difícil.
P: Há algum teorema para o qual uma prova é conhecida, mas que não pode ser facilmente escrita?
R: Sim, os exemplos incluem o teorema de quatro cores e a conjectura de Kepler, que só podem ser verificados por meio de programas de computador.
P: Os teoremas matemáticos podem, às vezes, ser reduzidos a cálculos mais simples?
R: Sim, os teoremas matemáticos podem às vezes ser reduzidos a cálculos mais simples, como identidades polinomiais, trigonométricas ou hipergeométricas.
