Desvio padrão

Considere um grupo com os oito números seguintes:

2 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 7 , 9 estilo de jogo 2,4,4,4,4,4,5,5,5,7,9

Estes oito números têm a média (média) de 5:

Para calcular o desvio padrão da população, primeiro encontre a diferença de cada número na lista em relação à média. Em seguida, quadrar o resultado de cada diferença:

( 2 - 5 ) 2 = ( - 3 ) 2 = 9 ( 5 - 5 ) 2 = 0 2 = 0 ( 4 - 5 ) 2 = ( - 1 ) 2 = 1 ( 5 - 5 ) 2 = 0 2 = 0 ( 4 - 5 ) 2 = ( - 1 ) 2 = 1 ( 7 - 5 ) 2 = 2 2 2 = 4 ( 4 - 5 ) 2 = ( - 1 ) 2 = 1 ( 9 - 5 ) 2 = 4 2 = 16 {\i1}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16\\\end{array}}}

A seguir, encontre a média desses valores (soma dividida pelo número de números). Por último, pegue a raiz quadrada:

( 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 4 + 16 ) 8 = 2 {\sqrt {\frac {(9+1+1+0+0+4+16)}}{8}}=2}

A resposta é o desvio padrão da população. A fórmula só é verdadeira se os oito números com os quais começamos forem o grupo inteiro. Se eles forem apenas uma parte do grupo escolhido ao acaso, então devemos usar 7 (que é n - 1) em vez de 8 (que é n) na parte inferior (denominador) do penúltimo passo. Então a resposta é o desvio padrão da amostra. Isto é chamado de Correção de Bessel.

Um exemplo um pouco mais difícil, na vida real: A altura média para homens adultos nos Estados Unidos é de 70", com um desvio padrão de 3". Um desvio padrão de 3" significa que a maioria dos homens (cerca de 68%, assumindo uma distribuição normal) tem uma altura de 3" a 3" mais alta do que a média (67"-73") - um desvio padrão. Quase todos os homens (cerca de 95%) têm uma altura de 6" a 6" mais alta do que a média (64"-76") - dois desvios padrão. Três desvios padrão incluem todos os números para 99,7% da população da amostra em estudo. Isto é verdade se a distribuição for normal (em forma de sino).

Se o desvio padrão fosse zero, então todos os homens teriam exatamente 70" de altura. Se o desvio padrão fosse de 20", então alguns homens seriam muito mais altos ou muito mais baixos que a média, com uma faixa típica de cerca de 50"-90".

Por outro exemplo, cada um dos três grupos {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} e {6, 6, 8, 8} tem uma média (média) de 7. Mas seus desvios padrão são 7, 5, e 1. O terceiro grupo tem um desvio padrão muito menor do que os outros dois porque seus números são todos próximos de 7. A idéia básica é que o desvio padrão nos diz quão longe da média o restante dos números tende a estar. Ele terá as mesmas unidades que os números propriamente ditos. Se, por exemplo, o grupo {0, 6, 8, 14} for a idade de um grupo de quatro irmãos em anos, a média é de 7 anos e o desvio padrão é de 5 anos.

O desvio padrão pode servir como uma medida de incerteza. Na ciência, por exemplo, o desvio padrão de um grupo de medidas repetidas ajuda os cientistas a saberem o quão certos estão do número médio. Ao decidir se as medições de um experimento concordam com uma previsão, o desvio padrão dessas medições é muito importante. Se o número médio dos experimentos estiver muito longe do número previsto (com a distância medida em desvios padrão), então a teoria sendo testada pode não estar correta. Ver intervalo de predição.

Exemplos de aplicação

O uso da compreensão do desvio padrão de um conjunto de valores está em saber quão grande é a diferença em relação à "média" (média) esperada.

Clima

Como um exemplo simples, considere as temperaturas médias diárias altas para duas cidades, uma no interior e outra perto do oceano. É útil entender que a variação das altas temperaturas diárias para as cidades próximas ao oceano é menor do que para as cidades do interior. Essas duas cidades podem ter a mesma temperatura média diária alta. Entretanto, o desvio padrão da temperatura elevada diária para a cidade costeira será menor do que o da cidade interior.

Esportes

Outra maneira de ver isso é considerar as equipes esportivas. Em qualquer esporte, haverá equipes que são boas em algumas coisas e não em outras. As equipes mais bem classificadas não mostrarão muitas diferenças nas habilidades. Elas se saem bem na maioria das categorias. Quanto menor o desvio padrão de suas habilidades em cada categoria, mais equilibradas e consistentes elas são. As equipes com um desvio padrão mais alto, no entanto, serão menos previsíveis. Uma equipe que normalmente é ruim na maioria das categorias terá um baixo desvio padrão. Uma equipe que normalmente é boa na maioria das categorias também terá um baixo desvio padrão. Entretanto, uma equipe com um desvio padrão alto pode ser o tipo de equipe que marca muitos pontos (ataque forte) mas também permite que a outra equipe marque muitos pontos (defesa fraca).

Tentar saber com antecedência quais equipes vencerão pode incluir a análise dos desvios padrão das diversas "estatísticas" da equipe. Números que são diferentes do esperado podem combinar forças vs. fraquezas para mostrar quais razões podem ser mais importantes para saber qual equipe vencerá.

Nas corridas, o tempo que um piloto leva para terminar cada volta ao redor da pista é medido. Um piloto com um baixo desvio padrão dos tempos por volta é mais consistente do que um piloto com um desvio padrão mais alto. Esta informação pode ser usada para ajudar a entender como um piloto pode reduzir o tempo para terminar uma volta.

Dinheiro

Em dinheiro, o desvio padrão pode significar o risco de que um preço suba ou desça (ações, títulos, propriedade, etc.). Também pode significar o risco de que um grupo de preços suba ou desça (fundos mútuos administrados ativamente, fundos mútuos de índices ou ETFs). O risco é uma razão para tomar decisões sobre o que comprar. O risco é um número que as pessoas podem usar para saber quanto dinheiro podem ganhar ou perder. Conforme o risco aumenta, o retorno sobre um investimento pode ser maior do que o esperado (o desvio padrão "mais"). Entretanto, um investimento também pode perder mais dinheiro do que o esperado (o desvio padrão "menos").

Por exemplo, uma pessoa tinha que escolher entre duas ações. O estoque A durante os últimos 20 anos teve um retorno médio de 10%, com um desvio padrão de 20 pontos percentuais (pp). O estoque B nos últimos 20 anos teve um retorno médio de 12%, mas um desvio padrão mais alto de 30 pp. Pensando no risco, a pessoa pode decidir que o Estoque A é a escolha mais segura. Mesmo que não ganhem tanto dinheiro, provavelmente também não perderão muito dinheiro. A pessoa pode pensar que a média 2 pontos mais alta do estoque B não vale o desvio padrão adicional de 10 pp (maior risco ou incerteza sobre o retorno esperado).

Regras para números normalmente distribuídos

A maioria das equações matemáticas para desvio padrão assume que os números são normalmente distribuídos. Isto significa que os números são distribuídos de uma certa forma em ambos os lados do valor médio. A distribuição normal também é chamada de distribuição gaussiana porque foi descoberta por Carl Friedrich Gauss. É freqüentemente chamada de curva do sino porque os números se espalham para fazer a forma de um sino em um gráfico.

Os números não são normalmente distribuídos se estiverem agrupados de um lado ou do outro do valor médio. Os números podem ser espalhados e ainda ser distribuídos normalmente. O desvio padrão indica o quanto os números são distribuídos.

A média (média) e o desvio padrão de um conjunto de dados são geralmente escritos juntos. Então, uma pessoa pode entender qual é o número médio e o quanto os outros números do grupo estão espalhados.

A forma como um grupo de números é distribuído também pode ser dada pelo coeficiente de variação, que é o desvio padrão dividido pela média. Trata-se de um número sem dimensão. O coeficiente de variação é freqüentemente multiplicado por 100% e escrito como uma porcentagem.

O termo desvio padrão foi usado pela primeira vez na escrita por Karl Pearson em 1894, depois que ele o utilizou em palestras. Foi como um substituto de nomes anteriores para a mesma idéia: por exemplo, Gauss usou erro médio.

• Precisão e exatidão
• Tamanho da amostra