Função exponencial

Em matemática, uma função exponencial é uma função que cresce rapidamente. Mais precisamente, é a função exp ( x ) = e x ^{\i1}exp(x)=e^{x}}. {\displaystyle \exp(x)=e^{x}}e é a constante de Euler, um número irracional que é aproximadamente 2,71828.

Três funções diferentes: Linear (vermelho), Cúbica (azul) e Exponencial (verde).
Três funções diferentes: Linear (vermelho), Cúbica (azul) e Exponencial (verde).

Imóveis

Como as funções exponenciais utilizam a exponenciação, elas seguem as mesmas regras. Assim, a exponenciação,

exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) = e x + y {\i1}exp(x+y)=exp(x)xp(x)xp(y)=e^{x+y}}} {\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)=e^{x+y}}. Isto segue a regra que x a x b = x a + b ^{a}{a}{cdot x^{b}=x^{a+b}}} {\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}}.

O logaritmo natural é a operação inversa de uma função exponencial.

ln ( x ) = log e ( x ) = log ( x ) log ( e ) {\i1}{e}(x)={\i}log _{e}(x)={\i}frac {\i}{\i(x)}{\i(e)}} {\displaystyle \ln(x)=\log _{e}(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}}

A função exponencial satisfaz uma propriedade interessante e importante no cálculo diferencial,

d d x e x = e x {\i1}displaystyle {\i}frac {\i}mathrm x}e^{x}=e^{x}}}e^{x}} {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}},

Isto significa que a inclinação da função exponencial é a própria função exponencial e, posteriormente, isto significa que tem uma inclinação de 1 a x = 0 {\displaystyle x=0}{\displaystyle x=0} . Estas propriedades são a razão pela qual ela é uma função importante na matemática.

Aplicações

A função exponencial está entre as mais úteis das funções matemáticas. Ela é usada para representar o crescimento exponencial, que tem usos em praticamente todos os assuntos científicos e também é proeminente em Finanças. A decadência exponencial também acontece, por exemplo, a decadência radioativa e a absorção da luz.

Um exemplo de uma função exponencial na vida real seria o interesse em um banco. Se uma pessoa deposita £100 em uma conta que recebe 3% de juros por mês, então o saldo de cada mês seria (assumindo que o dinheiro não seja tocado):

Mês

Balanço

Mês

Balanço

Janeiro

£100.00

Julho

£119.41

Fevereiro

£103.00

Agosto

£122.99

Março

£106.09

Setembro

£126.68

Abril

£109.27

Outubro

£130.48

Maio

£112.55

Novembro

£134.39

Junho

£115.93

Dezembro

£138.42

Observe como o dinheiro extra dos juros aumenta a cada mês. Quanto maior o saldo original, mais juros a pessoa receberá.

Dois exemplos matemáticos de funções exponenciais são mostrados abaixo.

a=2

x estilo de jogo x x

Resultado

-2

0.25

-1

0.5

0

1

1

2

2

4

3

8

4

16

a=3

x estilo de jogo x x

Resultado

-2

1/9

-1

1/3

0

1

1

3

2

9

3

27

4

81

Relação com a constante matemática e

Embora a base ( um {\displaystyle a}a ) possa ser qualquer número maior que zero, por exemplo, 10 ou 1/2, muitas vezes é um número especial chamado e. O número e não pode ser escrito exatamente, mas é quase igual a 2,71828.

O número e é importante para todas as funções exponenciais. Por exemplo, um banco paga juros de 0,01 por cento todos os dias. Uma pessoa pega seu dinheiro de juros e o coloca em uma caixa. Após 10.000 dias (cerca de 30 anos), ele tem 2 vezes mais dinheiro do que começou. Outra pessoa pega o dinheiro de seus juros e o coloca de volta no banco. Como o banco agora lhe paga juros sobre seus juros, a quantidade de dinheiro é uma função exponencial. Após 10.000 dias, ele não tem 2 vezes mais dinheiro do que começou, mas ele tem 2,718145 vezes mais dinheiro do que começou. Este número está muito próximo do número e. Se o banco paga juros mais vezes, então a quantia paga cada vez é menor, então o número estará mais próximo do número e.

Uma pessoa também pode olhar para a foto para ver porque o número e é importante para funções exponenciais. A figura tem três curvas diferentes. A curva com os pontos pretos é uma função exponencial com uma base um pouco menor que e. A curva com as linhas pretas curtas é uma função exponencial com uma base um pouco maior que e. A curva azul é uma função exponencial com uma base exatamente igual a e. A linha vermelha é uma tangente à curva azul. Ela toca a curva azul em um ponto sem cruzá-la. Uma pessoa pode ver que a curva vermelha cruza o eixo x, a linha que vai da esquerda para a direita, em -1. Isto é verdade somente para a curva azul. Esta é a razão pela qual a função exponencial com a base e é especial.

e é o número único a, de modo que o valor da derivada da função exponencial f (x) = eixo (curva azul) no ponto x = 0 é exatamente 1. Para comparação, as funções 2x (curva pontilhada) e 4x (curva tracejada) são mostradas; elas não são tangentes à linha de inclinação 1 (vermelho).
e é o número único a, de modo que o valor da derivada da função exponencial f (x) = eixo (curva azul) no ponto x = 0 é exatamente 1. Para comparação, as funções 2x (curva pontilhada) e 4x (curva tracejada) são mostradas; elas não são tangentes à linha de inclinação 1 (vermelho).


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