Geometria euclidiana
A geometria euclidiana é um sistema em matemática. As pessoas pensam que Euclides foi a primeira pessoa que a descreveu; portanto, ela leva seu nome. Ele o descreveu pela primeira vez em seu livro Elementos. O livro foi a primeira discussão sistemática da geometria, como era conhecida na época. No livro, Euclides primeiro assume alguns axiomas. Estes formam a base para o trabalho posterior. Eles são intuitivamente claros. A partir desses axiomas, outros teoremas podem ser comprovados.
No século XIX, foram encontradas outras formas de geometria. Estas são geometrias não-euclidianas. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky foram algumas das pessoas que desenvolveram tais geometrias. Muito freqüentemente, estes não utilizam o postulado paralelo, mas os outros quatro axiomas.
Os axiomas
Euclides faz as seguintes suposições. Estes são axiomas, e não precisam ser provados.
- Quaisquer dois pontos podem ser unidos por uma linha reta
- Qualquer segmento de linha reta pode ser feito por mais tempo (estendido) até o infinito, de modo que se torna uma linha reta.
- Com um segmento em linha reta é possível desenhar um círculo, de modo que um ponto final do segmento seja o centro do círculo, e o outro ponto final seja o círculo. O segmento de linha torna-se o raio da circunferência.
- Todos os ângulos são congruentes
- Postulado paralelo. Se duas linhas se cruzarem com uma terceira de tal forma que a soma dos ângulos internos de um lado seja inferior a dois ângulos retos, então as duas linhas inevitavelmente devem se cruzar naquele lado, se estendidas o suficiente.
Status
A geometria euclidiana é uma teoria de primeira ordem. Com ela, afirmações como For all triangles... podem ser feitas, e ser provadas. Afirmações como For all sets of triangles... estão fora do escopo da teoria.
Perguntas e Respostas
P: O que é a geometria euclidiana?
R: A geometria euclidiana é um sistema em matemática que foi descrito pela primeira vez por Euclides em seu livro Elementos. Ela consiste em alguns axiomas que formam a base para o trabalho posterior, e outros teoremas podem ser provados a partir desses axiomas.
P: Quem escreveu os Elementos?
R: Euclides escreveu Elementos, que foi a primeira discussão sistemática da geometria, como era conhecida na época.
P: Quais são alguns exemplos de geometrias não euclidianas?
R: Geometrias não euclidianas foram desenvolvidas por Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai, e Nikolai Ivanovich Lobachevsky no século XIX. Estes muitas vezes não usam o postulado paralelo, mas confiam nos outros quatro axiomas.
P: O que é que a Elements discute?
R: Os Elementos discutem a geometria como era conhecida na época, e fazem uma discussão sistemática sobre ela.
P: Quantos axiomas tem a geometria euclidiana?
R: A geometria euclidiana tem alguns poucos axiomas que formam sua base para o trabalho posterior.
P: Quem desenvolveu as geometrias não euclidianas?
R: As geometrias não euclidianas foram desenvolvidas por Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky no século XIX.
P: A geometria não-euclidiana usa todos os cinco axiomas ou apenas quatro?
R: A geometria não-euclidiana muitas vezes não usa o postulado paralelo, mas se baseia em apenas quatro de seus cinco axiomas.
