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Congruência

Autor: Leandro Alegsa

28-02-2021

Em geometria, duas figuras ou objetos são congruentes se tiverem a mesma forma e tamanho. Também se uma tiver a mesma forma e tamanho que a imagem do espelho da outra.

Mais formalmente, dois conjuntos de pontos são chamados de congruentes se, e somente se, um puder ser transformado no outro por isometria. Para a isometria, são utilizados movimentos rígidos.

Isto significa que um objeto pode ser reposicionado e refletido (mas não redimensionado) para que coincida exatamente com o outro objeto. Portanto, duas figuras planas distintas em um pedaço de papel são congruentes se pudermos cortá-las e depois combiná-las completamente. É permitido virar o papel.

Polígonos congruentes são polígonos que, se você dobrar um polígono normal ao meio, é um polígono congruente.

Duas formas geométricas são congruentes se uma puder ser movida ou girada para que se encaixe exatamente onde a outra está. Se um dos objetos tem que mudar seu tamanho, os dois objetos não são congruentes: eles são apenas chamados de similares.

Se duas figuras ou objetos forem congruentes, eles têm a mesma forma e tamanho; mas podem ser girados, movidos, espelhados (refletidos) ou traduzidos, de modo que se encaixe exatamente onde está o outro.

Um exemplo de congruência. Os dois triângulos da esquerda são congruentes, enquanto o terceiro é semelhante a eles. O último triângulo não é semelhante nem congruente com nenhum dos outros. Note que a congruência permite a alteração de algumas propriedades, tais como localização e orientação, mas deixa outras inalteradas, como distância e ângulos. As propriedades inalteradas são chamadas de invariantes.

Exemplos

todos os quadrados que têm o mesmo comprimento de seus lados são congruentes.
todos os triângulos equiláteros que têm o mesmo comprimento de seus lados são congruentes.

Testes de congruência

Dois ângulos e o lado entre eles são os mesmos em dois triângulos (congruência ASA)
Dois ângulos e um lado não entre eles são os mesmos em ambos os triângulos (congruência AAS)
Os três lados de ambos os triângulos são os mesmos (congruência do SSS)
dois lados e o ângulo entre eles faz 2 triângulos congruentes (congruência SAS)

Como podemos obter novas formas congruentes?

Temos algumas possibilidades, algumas regras para tornar as novas formas congruentes com a original.

Se deslocarmos uma forma geomêntrica no plano, então obtemos uma forma que é congruente com a forma original.
Se girarmos ao invés de nos deslocarmos, também teremos uma forma congruente com a original.
Mesmo se tomarmos uma imagem espelhada da forma original, então ainda teremos uma forma congruente.
Se combinarmos as três atividades uma após a outra, então ainda teremos formas congruentes.
Não há mais formas congruentes. Mais precisamente, isto significa que se uma forma é congruente com a original, então ela pode ser alcançada pelas três atividades descritas acima.

A relação, que uma forma é congruente com outra forma, tem três propriedades famosas.

Se deixarmos a forma original sozinha em seu lugar original, então ela é congruente consigo mesma. Este comportamento, esta propriedade é chamada de reflexividade.

Por exemplo, se o turno acima não for um turno adequado, mas apenas um turno que faça um movimento de comprimento zero. Ou, similarmente, se a rotação acima não for uma rotação apropriada, mas apenas uma rotação de ângulo zero.

Se uma forma é congruente com outra forma, então esta outra forma também é congruente com a forma original. Este comportamento, esta propriedade é chamada de simetria.

Por exemplo, se recuarmos, ou girarmos para trás, ou espelharmos de volta a nova forma para a original, então a forma original é congruente com a nova forma.

Se uma forma C é congruente com uma forma B, e a forma B é congruente com a forma original A, então a forma C também é congruente com a forma original A. Este comportamento, esta propriedade é chamada transitividade.

Por exemplo, se aplicarmos primeiro um turno, e depois uma rotação, então a nova forma resultante ainda é congruente com a original.

As famosas três propriedades, reflexividade, simetria e transitividade juntas, fazem a noção de equivalência. Assim, a congruência da propriedade é um tipo de relação de equivalência entre as formas de um plano.

Perguntas e Respostas

P: O que significa duas figuras serem congruentes em geometria?

R: Duas figuras são congruentes em geometria se tiverem a mesma forma e o mesmo tamanho, ou se uma tiver a mesma forma e o mesmo tamanho que a imagem espelhada da outra.

P: Como dois conjuntos de pontos são chamados de congruentes?

R: Dois conjuntos de pontos são considerados congruentes se e somente se um puder ser transformado no outro por isometria.

P: Para que os movimentos rígidos são usados na isometria?

R: Os movimentos rígidos são usados na isometria para reposicionar, girar ou refletir figuras geométricas sem redimensioná-las, de modo que elas coincidam exatamente com outros objetos.

P: Duas figuras podem ser congruentes se uma delas tiver de alterar seu tamanho para coincidir com a outra?

R: Não, se um dos objetos tiver que mudar seu tamanho para coincidir com o outro, então os dois objetos não são congruentes, mas são chamados de similares.

P: O que podemos dizer sobre a congruência de duas figuras planas distintas em um pedaço de papel?

R: Duas figuras planas distintas em um pedaço de papel são congruentes se pudermos recortá-las e depois combiná-las completamente, virando o papel, se necessário.

P: O que são polígonos congruentes?

R: Polígonos congruentes são polígonos que podem ser dobrados ao meio para formar outro polígono regular que também é congruente.

P: Qual é o critério para que dois objetos sejam considerados congruentes em geometria?

R: O critério para que dois objetos sejam considerados congruentes em geometria é que um objeto possa ser reposicionado, girado ou refletido de modo que coincida exatamente com o outro objeto, sem alterar seu tamanho.