Transformada de Fourier

A transformação de Fourier é uma função matemática que pode ser utilizada para encontrar as frequências de base que compõem um sinal ou onda. Por exemplo, se um acorde for tocado, a onda sonora do acorde pode ser introduzida numa transformada de Fourier para encontrar as notas a partir das quais o acorde é feito. A saída de uma transformada de Fourier é por vezes chamada um espectro ou distribuição de frequências porque apresenta um espectro das frequências da entrada. Esta função tem muitos usos na criptografia, oceanografia, aprendizagem de máquinas, radiologia, física quântica, bem como na concepção e visualização de som.

A transformação de Fourier de uma função f ( x ) f(x)} é dada por

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {\i1}displaystyle F({\i}alpha )=int _{\i1}f(x)e^{-2\i i}alpha x}dx}

F ( α ) F(alfa ) é a função transformadora de Fourier e retorna um valor que representa a frequência prevalecente α {\displaystyle F(alfa ) está no sinal original.

e - 2 π i α x ^{\i i i}displaystyle e^{-2\i i}alpha x}} Representa o embrulho da função de entrada f ( x ) f(x)} em torno da origem no plano complexo com alguma frequência α {\i1}displaystyle {\i}

A transformação inversa de Fourier é dada por

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {\i1}displaystyle f(x)=int _{\i}{+\i}f({\i}alpha )e^{+2\i ix\i ix\i}dalpha {\i}

Uma transformação de Fourier mostra quais são as frequências de um sinal. Por exemplo, considere uma onda sonora que contém três notas musicais diferentes: A, B, e C. Fazer um gráfico da transformação de Fourier desta onda sonora (com a frequência no eixo x e a intensidade no eixo y) mostrará um pico em cada frequência que corresponde a uma das notas musicais.

Muitos sinais podem ser criados pela soma de co-senos e pecados com amplitudes e frequências variáveis. A transformada de Fourier traça as amplitudes e fases destes cossenos e pecados contra as suas respectivas frequências.

As transformações de Fourier são importantes porque muitos sinais fazem mais sentido quando as suas frequências são separadas. No exemplo de áudio acima, olhar para o sinal com respeito ao tempo não torna óbvio que as notas A, B, e C estão no sinal. Muitos sistemas fazem coisas diferentes a frequências diferentes, pelo que estes tipos de sistemas podem ser descritos pelo que fazem a cada frequência. Um exemplo disto é um filtro que bloqueia frequências altas.

O cálculo de uma transformação de Fourier requer a compreensão da integração e números imaginários. Os computadores são normalmente utilizados para calcular transformadas de Fourier de tudo menos os sinais mais simples. A Transformada Rápida de Fourier é um método que os computadores utilizam para calcular rapidamente uma transformação de Fourier.