Os paradoxos de Zeno

Aquiles e a tartaruga

No paradoxo de Aquiles e da Tartaruga, Aquiles está em uma corrida de pé com a tartaruga. Aquiles permite que a tartaruga tenha uma vantagem de 100 metros, por exemplo. Suponha que cada corredor comece a correr a uma velocidade constante, uma muito rápida e uma muito lenta. Depois de algum tempo finito, Aquiles terá corrido 100 metros, levando-o ao ponto de partida da tartaruga. Durante este tempo, a tartaruga mais lenta correu uma distância muito menor. Levará então mais algum tempo para que Aquiles percorra essa distância, tempo no qual a tartaruga terá avançado ainda mais. Levará então ainda mais tempo para que Aquiles alcance este terceiro ponto, enquanto a tartaruga avança novamente. Assim, sempre que Aquiles chegar a algum lugar onde a tartaruga tenha estado, ele ainda terá que ir mais longe. Portanto, como há um número infinito de pontos que Aquiles deve alcançar onde a tartaruga já esteve, ele nunca poderá ultrapassar a tartaruga.

O paradoxo da dicotomia

Suponha que alguém queira passar do ponto A para o ponto B. Primeiro, ele deve se mover a meio caminho. Depois, eles devem ir pela metade do caminho restante. Continuando desta maneira, sempre haverá uma pequena distância restante, e o objetivo nunca seria realmente alcançado. Sempre haverá outro número a ser acrescentado em uma série como 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ....Assim, o movimento de qualquer ponto A para qualquer ponto B diferente é visto como uma impossibilidade.

Comentário

É aqui então que reside o paradoxo de Zeno: ambas as imagens da realidade não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Por isso, também não é possível: 1. Há algo errado com a forma como percebemos a natureza contínua do tempo, 2. Na realidade, não existe algo como uma quantidade discreta, ou incremental, de tempo, distância, ou talvez qualquer outra coisa, ou 3. Há uma terceira imagem da realidade que unifica as duas imagens - a matemática e o senso comum ou filosófico - que ainda não temos as ferramentas para entender completamente.

Soluções propostas

Poucas pessoas apostariam que a tartaruga venceria a corrida contra um atleta. Mas, o que há de errado com o argumento?

Quando se começa a acrescentar os termos da série 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 +....notar que a soma se aproxima cada vez mais de 1, e nunca excederá 1. Aristóteles (que é a fonte de muito do que sabemos sobre Zeno) observou que à medida que a distância (no paradoxo da dicotomia) diminui, o tempo para percorrer cada distância fica cada vez menor. Antes de 212 a.C., Arquimedes havia desenvolvido um método para obter uma resposta finita para a soma de infinitos termos que se tornam progressivamente menores (como 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). O cálculo moderno alcança o mesmo resultado, utilizando métodos mais rigorosos.

Alguns matemáticos, tais como w:Carl Boyer, sustentam que os paradoxos de Zeno são simplesmente problemas matemáticos, para os quais o cálculo moderno oferece uma solução matemática. No entanto, as questões de Zeno continuam sendo problemáticas se nos aproximamos de uma série infinita de passos, um passo de cada vez. Isto é conhecido como uma super-tarefa. O cálculo não envolve na verdade a adição de números um de cada vez. Em vez disso, ele determina o valor (chamado de limite) que a adição está se aproximando.

Veja artigos em inglês na Wikipedia

• Os paradoxos do Zeno
• A Quadratura da Parabola
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·
• A lâmpada Thompson