Teoria dos conjuntos Zermelo-Fraenkel

A teoria dos conjuntos Zermelo-Fraenkel (ZF abreviada) é um sistema de axiomas usado para descrever a teoria dos conjuntos. Quando o axioma de escolha é adicionado ao ZF, o sistema é chamado ZFC. É o sistema de axiomas usado na teoria de conjuntos pela maioria dos matemáticos de hoje.

Depois que o paradoxo deRussell foi encontrado em 1901, os matemáticos quiseram encontrar uma maneira de descrever a teoria do conjunto que não tivesse contradições. Ernst Zermelo propôs uma teoria de conjuntos em 1908. Em 1922, Abraham Fraenkel propôs uma nova versão baseada no trabalho de Zermelo.

Axiomas

Um axioma é uma declaração que é aceita sem questionar, e que não tem nenhuma prova. ZF contém oito axiomas.

  1. O axioma de extensão diz que dois conjuntos são iguais se e somente se eles tiverem os mesmos elementos. Por exemplo, o conjunto { 1 , 3 } {\displaystyle \{1,3\}}e o conjunto 3, 1, 2, 3, 1 {\displaystyle \{3,1\}}são iguais.
  2. O axioma da fundação diz que todos os conjuntos S {\i1}do estilo de jogo S {\displaystyle S}(exceto o conjunto vazio) contém um elemento que é desunido (não compartilha nenhum membro) com o S {\i1}. {\displaystyle S}.
  3. O axioma da especificação diz que, dado um conjunto de S {\i1}estilo S {\displaystyle S}e um F de estilo F F(uma função que é verdadeira ou falsa), que existe um conjunto que contém exatamente aqueles elementos do S {\i1} {\displaystyle S}onde o F {\i} Fé verdadeiro. Por exemplo, se S = {1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}}e F Fé "este é um número par", então o axioma diz que o conjunto O estilo de exibição {\displaystyle \{2,6\}}existe.
  4. O axioma de emparelhamento diz que, dado dois conjuntos, há um conjunto cujos membros são exatamente os dois conjuntos dados. Portanto, dados os dois conjuntos { 0 , 3 } estilo de jogo {\displaystyle \{0,3\}}e 2 , 5 estilo de jogo 2,5 {\displaystyle \{2,5\}}este axioma diz que o conjunto { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } O estilo de exibição {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}existe.
  5. O axioma da união diz que para qualquer conjunto, existe um conjunto que consiste apenas dos elementos desse conjunto. Por exemplo, dado o conjunto { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}este axioma diz que o conjunto { 0 , 3 , 2 , 5 } O estilo de exibição {\displaystyle \{0,3,2,5\}}existe.
  6. O axioma de substituição diz que, para qualquer conjunto S {\displaystyle S}e uma função F, o estilo de exibição S Fque o conjunto que consiste nos resultados de chamar F de "F" Fem todos os membros do S de "S" {\displaystyle S}existe. Por exemplo, se S = {1 , 2 , 3 , 5 , 6 } O axioma S={1,2,3,5,6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}}e F==significa F"adicionar dez a este número", então o axioma diz que o conjunto {11 , 12 , 13 , 15 , 16 } O estilo de exibição {\displaystyle \{11,12,13,15,16\}}existe.
  7. O axioma do infinito diz que o conjunto de todos os inteiros (como definido pela construção Von Neumann) existe. Este é o conjunto { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}} {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
  8. O axioma do conjunto de energia diz que o conjunto de energia (o conjunto de todos os subconjuntos) de qualquer conjunto existe. Por exemplo, o conjunto de potências de { 2 , 5 } O estilo do jogo {\displaystyle \{2,5\}}é , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}} {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}

Axioma de escolha

O axioma de escolha diz que é possível tirar um objeto de cada um dos elementos de um conjunto e fazer um novo conjunto. Por exemplo, dado o conjunto { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}}o axioma de escolha mostraria que um conjunto como o { 3 , 5 } O estilo de exibição {\displaystyle \{3,5\}}existe. Este axioma pode ser comprovado pelos outros axiomas para conjuntos finitos, mas não para conjuntos infinitos.


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