Teoria dos conjuntos Zermelo-Fraenkel

Um axioma é uma declaração que é aceita sem questionar, e que não tem nenhuma prova. ZF contém oito axiomas.

1. O axioma de extensão diz que dois conjuntos são iguais se e somente se eles tiverem os mesmos elementos. Por exemplo, o conjunto { 1 , 3 } e o conjunto 3, 1, 2, 3, 1 são iguais.
2. O axioma da fundação diz que todos os conjuntos S {\i1}do estilo de jogo S (exceto o conjunto vazio) contém um elemento que é desunido (não compartilha nenhum membro) com o S {\i1}. .
3. O axioma da especificação diz que, dado um conjunto de S {\i1}estilo S e um F de estilo F (uma função que é verdadeira ou falsa), que existe um conjunto que contém exatamente aqueles elementos do S {\i1} onde o F {\i} é verdadeiro. Por exemplo, se S = {1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle S=\{1,2,3,5,6\}} e F é "este é um número par", então o axioma diz que o conjunto O estilo de exibição existe.
4. O axioma de emparelhamento diz que, dado dois conjuntos, há um conjunto cujos membros são exatamente os dois conjuntos dados. Portanto, dados os dois conjuntos { 0 , 3 } estilo de jogo e 2 , 5 estilo de jogo 2,5 este axioma diz que o conjunto { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } O estilo de exibição existe.
5. O axioma da união diz que para qualquer conjunto, existe um conjunto que consiste apenas dos elementos desse conjunto. Por exemplo, dado o conjunto { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} este axioma diz que o conjunto { 0 , 3 , 2 , 5 } O estilo de exibição existe.
6. O axioma de substituição diz que, para qualquer conjunto S e uma função F, o estilo de exibição S que o conjunto que consiste nos resultados de chamar F de "F" em todos os membros do S de "S" existe. Por exemplo, se S = {1 , 2 , 3 , 5 , 6 } O axioma S={1,2,3,5,6 } e F==significa "adicionar dez a este número", então o axioma diz que o conjunto {11 , 12 , 13 , 15 , 16 } O estilo de exibição existe.
7. O axioma do infinito diz que o conjunto de todos os inteiros (como definido pela construção Von Neumann) existe. Este é o conjunto { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . } {\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}
8. O axioma do conjunto de energia diz que o conjunto de energia (o conjunto de todos os subconjuntos) de qualquer conjunto existe. Por exemplo, o conjunto de potências de { 2 , 5 } O estilo do jogo é , { 5 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{\},\{2\},\{5\},\{2,5\}\}}

O axioma de escolha diz que é possível tirar um objeto de cada um dos elementos de um conjunto e fazer um novo conjunto. Por exemplo, dado o conjunto { { 0 , 3 } , { 2 , 5 } } {\displaystyle \{\{0,3\},\{2,5\}\}} o axioma de escolha mostraria que um conjunto como o { 3 , 5 } O estilo de exibição existe. Este axioma pode ser comprovado pelos outros axiomas para conjuntos finitos, mas não para conjuntos infinitos.