Eliminação da Gaussiana

Em matemática, a eliminação gaussiana (também chamada de redução de linha) é um método usado para resolver sistemas de equações lineares. Tem o nome de Carl Friedrich Gauss, um famoso matemático alemão que escreveu sobre este método, mas não o inventou.

Para realizar a eliminação gaussiana, os coeficientes dos termos no sistema de equações lineares são usados para criar um tipo de matriz chamada matriz aumentada. Em seguida, são usadas operações elementares de linha para simplificar a matriz. Os três tipos de operações em linha utilizados são:

Tipo 1: Trocando uma fileira por outra fileira.

Tipo 2: Multiplicando uma linha por um número diferente de zero.

Tipo 3: Adicionar ou subtrair uma fileira de outra fileira.

O objetivo da eliminação da Gaussiana é colocar a matriz em forma de fila. Se uma matriz estiver em forma de fileira, isso significa que a leitura da esquerda para a direita, cada fileira começará com pelo menos mais um termo zero do que a fileira acima dela. Algumas definições de eliminação gaussiana dizem que o resultado da matriz tem que estar na forma de fileira reduzida. Isso significa que a matriz está na forma de fila e o único termo não-zero em cada fila é 1. A eliminação gaussiana que cria um resultado de matriz de fila reduzida é às vezes chamada de eliminação gauss-jordaniana.

Exemplo

Suponha que o objetivo é encontrar as respostas para este sistema de equações lineares.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - - 3 ( R 3 ) {\i1}displaystyle {\i}{\i1}begin{\i}{\i}2x&&&&&&&&&\i};-;&&&z&&&&&\i};&&&8\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}}

Primeiro, o sistema precisa ser transformado em uma matriz ampliada. Em uma matriz aumentada, cada equação linear se transforma em uma linha. Em um lado da matriz aumentada, os coeficientes de cada termo na equação linear tornam-se números na matriz. No outro lado da matriz aumentada estão os termos constantes aos quais cada equação linear é igual. Para este sistema, a matriz ampliada é:

2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] estilo de jogo à esquerda [begin{array}{ccc|c}2&1&-1&-1&8&-3&-1&2&-11-2&1&2&-3end{array}{displaystyle {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}

Em seguida, as operações em fila podem ser feitas na matriz aumentada para simplificá-la. A tabela abaixo mostra o processo de redução de linhas no sistema de equações e na matriz aumentada.

Sistema de equações

Operações em linha

Matriz Aumentada

2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\i1}displaystyle {\i1}begin{\i}{7}2x&&&&;+;&&&y&&&&&;-;&&&z&&&&;=;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}}

2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] estilo de jogo à esquerda [begin{array}{ccc|c}2&1&-1&-1&8&-3&-1&2&-11-2&1&2&-3end{array}{displaystyle {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]}

2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\i1}displaystyle {\i}{7}2x&&&&;+&&&&y&&&&&;-&&&&&&;z&&&;=;&&&8&&&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&& 2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}}

R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\i1} R 2 {\i1}displaystyle R_{\i}+{\i}{\i}R_{\i1}rightarrow R_{\i} {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}}
R 3 + R 1 → R 3 {\i1}displaystyle R_{3}+R_{1}{\i1}rightarrow R_{3}}
{\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}}

2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\i1}esquerda [begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8}0&1/2&1/2&1/2&1}0&2&1&5end{array}}direita {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]}

2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\i1}displaystyle {\i}{7}2x&&&&;+&&&&y;&&&-&&&&&;z;&&==;&&&8&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}}

R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\i1}displaystyle R_{3}+-4R_{2}{\i1}rightarrow R_{3}} {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}}

2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\i1}esquerda [begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8}0&1/2&1/2&1/2&1}0&0&1&-1&1end{array}}direita {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}

A matriz está agora em forma de fila. Isto também é chamado de forma triangular.

Sistema de equações

Operações em linha

Matriz Aumentada

2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\i1}displaystyle {\i}{7}2x&&&&;+&&&y;&&&&;{\i};&&&=;&&&7&&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}}

R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\i1}{\i1} R 2 {\i1}+{\i1}R_{\i1}{\i1}R_{\i1}{\i1}direito R_{\i} {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}}
R 1 - R 3 → R 1 {\i1}-R_{\i1}-R_{\i1}rightarrow R_{\i}}
{\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}}

2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 0 - 1 1 ] {\i1}esquerda [begin{array}{ccc|c}2&1&0&7}0&1/2&0&3/2/2\i}0&0&-1&1end{array}}direita {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]}

2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\an8}2x&&&&y;+&&&y;&&&&;;&&&&=;&&&&7&&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}}

2 R 2 → R 2 {\i1}displaystyle 2R_{\i}{\i1}rightarrow R_{\i} {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}}
R 3 → R 3 {\i1}displaystyle -R_{\i}{\i1}rightarrow R_{\i}
{\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}}

2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] estilo de jogo à esquerda [begin{array}{ccc|c}2&1&0&0&7}0&1&0&0&3}0&0&1&1&-1 end{array}{direita]} {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}

x = 2 y = 3 z = - 1 {\\i1}- estilo de jogo {\i}{\i1}x&&&&&\i} &&&&;{\i};&&&&==;&&&2&&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}}

R 1 - R 2 → R 1 {\i1}-R_{\i}-R_{\i}{\i1}rightarrow R_{\i}} {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}}
1 2 R 1 → R 1 {\frac {1}{2}}R_{1}{1}rightarrow R_{1}}
{\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}}

1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] estilo de jogo à esquerda [begin{array}{ccc|c}1&0&0&0&2&0&1&0&3}0&0&1&1&-1 end{array}{direita]} {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]}

A matriz está agora em forma de fileira reduzida. A leitura desta matriz nos diz que as soluções para este sistema de equações ocorrem quando x = 2, y = 3, e z = -1.


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