Teoremas do limite central

Autor: Leandro Alegsa Data de criação: 28 de fevereiro de 2021

Os teoremas do limite central são os teoremas da teoria da probabilidade. Eles dizem que, dado um grande número de variáveis aleatórias independentes, sua soma seguirá uma distribuição estável. Se a variância das variáveis aleatórias for finita, resultará uma distribuição gaussiana. Esta é uma das razões pelas quais esta distribuição também é conhecida como distribuição normal.

O mais conhecido e mais importante deles é conhecido como o teorema do limite central. Trata-se de um grande número de variáveis aleatórias com a mesma distribuição, e com uma variância finita e valor esperado.

Há diferentes generalizações deste teorema. Algumas dessas generalizações já não exigem uma distribuição idêntica de todas as variáveis aleatórias. Nestas generalizações, outra pré-condição garante que nenhuma variável aleatória tenha uma influência maior sobre o resultado do que as outras. Exemplos disso são as condições de Lindeberg e Lyapunov.

O nome do teorema é baseado em um artigo que George Pólya escreveu em 1920, About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment problem (Sobre o Teorema do Limite Central na Teoria da Probabilidade e o Problema do Momento).

Perguntas e Respostas

P: O que é o Teorema do Limite Central?

R: O Teorema do Limite Central (CLT) é um teorema sobre os comportamentos limitantes das distribuições de probabilidade agregada. Ele diz que, dado um grande número de variáveis aleatórias independentes, sua soma seguirá uma distribuição estável. Se a variância das variáveis aleatórias for finita, então resultará uma distribuição gaussiana.

P: Quem escreveu o documento no qual esse teorema foi baseado?

R: George Pَlya escreveu o artigo "About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment Problem" em 1920, que serviu de base para esse teorema.

P: Que tipo de distribuição resulta quando todas as variáveis aleatórias têm variância finita?

R: Quando todas as variáveis aleatórias têm variância finita, uma distribuição Gaussiana ou normal resultará da aplicação da CLT.

P: Há alguma generalização na CLT?

R: Sim, há generalizações diferentes para a CLT que não requerem mais uma distribuição idêntica de todas as variáveis aleatórias. Essas generalizações incluem condições de Lindeberg e Lyapunov que garantem que nenhuma única variável aleatória tenha mais influência do que outras no resultado.

P: Como funcionam essas generalizações?

R: Essas generalizações garantem que nenhuma única variável aleatória tenha mais influência do que outras no resultado, introduzindo condições prévias adicionais, tais como condições de Lindeberg e Lyapunov.

P: O que a CLT diz sobre a amostra e a soma de grandes números de variáveis aleatórias independentes com a mesma distribuição?

R: De acordo com a CLT, se n variáveis aleatórias idênticas e distribuídas independentemente com média ى {\mu } e desvio padrão َ {\mu {\u } A média da amostra deles (X1+...+Xn)/n será aproximadamente normal com média ى e desvio padrão َ/√n {\i1}displaystyle {\i}displaystyle {\i}frac {\i}{\i1+...+Xn)/n será aproximadamente normal com média ى Além disso, a soma deles X1+...+Xn também será aproximadamente normal, com média nى e desvio padrão √nَ .