Uma derivação da lei do gás combinado utilizando apenas álgebra elementar pode conter surpresas. Por exemplo, a partir das três leis empíricas
P = k V T {\i1}displaystyle P=k_{V},T=,T=,{\i}! } 
(1) Lei de Gay-Lussac, volume assumido constante
V = k P T {\i1}displaystyle V=k_{P}T,{\i}! } 
(2) Lei de Charles, pressão assumida constante
P V = k T {\i1}displaystyle PV=k_{T},{\i}! } 
(3) Lei de Boyle, temperatura assumida constante
onde kV, kP, e kT são as constantes, pode-se multiplicar os três juntos para obter
P V P V = k V T T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T},{Tk_{T}! } 
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados e dividindo por T parece produzir o resultado desejado
P V T = k P P k V k T {\i1}displaystyle {\i}{PV}={\i1}k_{P}k_{V}k_{T}},{\i}! } 
No entanto, se antes de aplicar o procedimento acima, apenas se rearranja os termos da Lei de Boyle, kT = PV, então, após o cancelamento e rearranjo, obtém-se
k T k V k P = T 2 {\i1}displaystyle {\i}{k_{T}}{k_{V}k_{P}}=T^{2},^! } 
o que não é muito útil se não for enganador.
Uma derivação física, mais longa mas mais fiável, começa por perceber que o parâmetro de volume constante na lei de Gay-Lussac irá mudar à medida que o volume do sistema mudar. Em volume constante, V1 a lei pode aparecer P = k1T, enquanto que em volume constante V2 pode aparecer P = k2T. Denotando este "volume constante variável" por kV(V), reescrever a lei como
P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\! } 
(4)
A mesma consideração aplica-se à constante da lei de Carlos, que pode ser reescrita
V = k P ( P ) T {\i1}displaystyle V=k_{P}(P){\i},T\i},T } 
(5)
Ao procurar encontrar kV(V), não se deve eliminar impensadamente T entre (4) e (5), uma vez que P é variável no primeiro enquanto é assumido constante no segundo. Em vez disso, deve-se primeiro determinar em que sentido estas equações são compatíveis umas com as outras. Para ter uma ideia disto, lembre-se de que quaisquer duas variáveis determinam a terceira. Escolhendo P e V para serem independentes, imaginamos os valores T que formam uma superfície acima do plano PV. Um V0 e P0 definitivos definem um T0, um ponto nessa superfície. Substituindo estes valores em (4) e (5), e reordenando os rendimentos
T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\i1}{\i1}={\i1}{\i1}{\i1}{k_{V}(V_{0})}quad e T_{0}={\i}{\i}frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}}{k_{P_{P}}}}}{\i}(P_0}) 
Uma vez que ambas descrevem o que está a acontecer no mesmo ponto da superfície, as duas expressões numéricas podem ser equacionadas e rearranjadas
k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}={\frac {P_{0}}{V_{0}},{V_{0}}! } 
(6)
Note-se que 1/kV(V0) e 1/kP(P0) são as encostas das linhas ortogonais paralelas ao eixo P/V e através desse ponto na superfície acima do plano PV. A razão das inclinações destas duas linhas depende apenas do valor de P0/V0 nesse ponto.
Note-se que a forma funcional de (6) não dependia do ponto particular escolhido. A mesma fórmula teria surgido para qualquer outra combinação de valores P e V. Por conseguinte, pode-se escrever
k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\\i1}{k_{V}(V)}{k_{P}(P)}={\i}={\i1}frac {P}{V}{V}}quad P,{\i}forall P,{\i}forall V 
(7)
Isto diz que cada ponto da superfície tem o seu próprio par de linhas ortogonais através dele, com a sua relação de declive dependendo apenas desse ponto. Enquanto (6) é uma relação entre inclinações específicas e valores variáveis, (7) é uma relação entre funções de inclinação e variáveis de função. É válida para qualquer ponto da superfície, ou seja, para toda e qualquer combinação de valores P e V. Para resolver esta equação para a função kV(V), separar primeiro as variáveis, V à esquerda e P à direita.
V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)} 
Escolher qualquer pressão P1. O lado direito avalia com algum valor arbitrário, chame-lhe karb.
} 
(8)
Esta equação particular deve agora manter-se verdadeira, não apenas para um valor de V, mas para todos os valores de V. A única definição de kV(V) que garante isto para todos os V e karb arbitrário é
k V ( V ) = k arb V {\i}{V}(V)={\i1}frac {k_{\i}}{V}}}{V} = k arb V {\i}displaystyle k_{V}(V)={\i1}frac {k_{\i}text{arb}}}} 
(9)
que pode ser verificada por substituição em (8).
Finalmente, a substituição (9) na lei de Gay-Lussac (4) e o rearranjo produz a lei do gás combinado
P V T = k arb {\i1}displaystyle {\i} {PV}=k_{\i1}text{\i},{\i}k_{\i1}arb}! } 
Note-se que embora a lei de Boyle não tenha sido utilizada nesta derivação, é facilmente deduzida do resultado. Geralmente, quaisquer duas das três leis iniciais são tudo o que é necessário neste tipo de derivação - todos os pares iniciais levam à mesma lei de gás combinada.
