Lei do gás combinado

A lei do gás combinado é uma fórmula sobre os gasesideais. Vem da junção de três leis diferentes sobre a pressão, o volume e a temperatura do gás. Elas explicam o que acontece a dois dos valores desse gás enquanto o terceiro permanece o mesmo. As três leis são:

  • A lei de Charles, que diz que o volume e a temperatura são directamente proporcionais um ao outro, desde que a pressão se mantenha igual.
  • A lei de Boyle diz que a pressão e o volume são inversamente proporcionais um ao outro à mesma temperatura.
  • A lei de Gay-Lussac diz que a temperatura e a pressão são directamente proporcionais desde que o volume permaneça o mesmo.

A lei do gás combinado mostra como as três variáveis estão relacionadas entre si. Diz isso:

A fórmula da lei do gás combinado é:

P V T T = k {\i1}k}displaystyle {\i}qquad {\i} {PV}=k {\displaystyle \qquad {\frac {PV}{T}}=k}

onde:

P é a pressão

V é o volume

T é a temperatura medida em kelvin

k é uma constante (com unidades de energia divididas pela temperatura).

Para comparar o mesmo gás com dois destes casos, a lei pode ser escrita como:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2 {\i1}displaystyle {\i} {P_{1}V_{1}}{T_{1}}={\i1}frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}} {\displaystyle \qquad {\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}}

Ao acrescentar a lei de Avogadro à lei do gás combinado, obtemos aquilo a que se chama a lei do gás ideal.

Derivação das leis do gás

A Lei de Boyle afirma que o produto de volume de pressão é constante:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)} {\displaystyle PV=k_{1}\qquad (1)}

A Lei de Charles mostra que o volume é proporcional à temperatura absoluta:

V T = k 2 ( 2 ) {\i} {\i1}=k_{\i}qquad (2)} {\i1} {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

A Lei de Gay-Lussac diz que a pressão é proporcional à temperatura absoluta:

P = k 3 T ( 3 ) {\i1}displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)} {\displaystyle P=k_{3}T\qquad (3)}

onde P é a pressão, V o volume e T a temperatura absoluta de um gás ideal.

Ao combinarmos (1) e (2) ou (3), podemos ganhar uma nova equação com P, V e T. Se dividirmos a equação (1) pela temperatura e multiplicarmos a equação (2) pela pressão, obteremos:

P V T = k 1 ( T ) T {\frac {PV}{T}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}={\frac {k_{1}(T}}}}{T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P}.

Como o lado esquerdo de ambas as equações é o mesmo, chegamos a

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P}{\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} ,

o que significa que

P V T = constante {\\i1}{\i1}={\i1}xtextrm {\i}}{\i1} {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {constant}}}.

A substituição na Lei de Avogadro produz a equação ideal do gás.

Derivação física

Uma derivação da lei do gás combinado utilizando apenas álgebra elementar pode conter surpresas. Por exemplo, a partir das três leis empíricas

P = k V T {\i1}displaystyle P=k_{V},T=,T=,{\i}! } {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\!}          (1) Lei de Gay-Lussac, volume assumido constante

V = k P T {\i1}displaystyle V=k_{P}T,{\i}! } {\displaystyle V=k_{P}T\,\!}          (2) Lei de Charles, pressão assumida constante

P V = k T {\i1}displaystyle PV=k_{T},{\i}! } {\displaystyle PV=k_{T}\,\!}          (3) Lei de Boyle, temperatura assumida constante

onde kV, kP, e kT são as constantes, pode-se multiplicar os três juntos para obter

P V P V = k V T T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T},{Tk_{T}! } {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\!}

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados e dividindo por T parece produzir o resultado desejado

P V T = k P P k V k T {\i1}displaystyle {\i}{PV}={\i1}k_{P}k_{V}k_{T}},{\i}! } {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}\,\!}

No entanto, se antes de aplicar o procedimento acima, apenas se rearranja os termos da Lei de Boyle, kT = PV, então, após o cancelamento e rearranjo, obtém-se

k T k V k P = T 2 {\i1}displaystyle {\i}{k_{T}}{k_{V}k_{P}}=T^{2},^! } {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}=T^{2}\,\!}

o que não é muito útil se não for enganador.

Uma derivação física, mais longa mas mais fiável, começa por perceber que o parâmetro de volume constante na lei de Gay-Lussac irá mudar à medida que o volume do sistema mudar. Em volume constante, V1 a lei pode aparecer P = k1T, enquanto que em volume constante V2 pode aparecer P = k2T. Denotando este "volume constante variável" por kV(V), reescrever a lei como

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\! }           {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\!}(4)

A mesma consideração aplica-se à constante da lei de Carlos, que pode ser reescrita

V = k P ( P ) T {\i1}displaystyle V=k_{P}(P){\i},T\i},T }           {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\!}(5)

Ao procurar encontrar kV(V), não se deve eliminar impensadamente T entre (4) e (5), uma vez que P é variável no primeiro enquanto é assumido constante no segundo. Em vez disso, deve-se primeiro determinar em que sentido estas equações são compatíveis umas com as outras. Para ter uma ideia disto, lembre-se de que quaisquer duas variáveis determinam a terceira. Escolhendo P e V para serem independentes, imaginamos os valores T que formam uma superfície acima do plano PV. Um V0 e P0 definitivos definem um T0, um ponto nessa superfície. Substituindo estes valores em (4) e (5), e reordenando os rendimentos

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\i1}{\i1}={\i1}{\i1}{\i1}{k_{V}(V_{0})}quad e T_{0}={\i}{\i}frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}}{k_{P_{P}}}}}{\i}(P_0}) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad and\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}

Uma vez que ambas descrevem o que está a acontecer no mesmo ponto da superfície, as duas expressões numéricas podem ser equacionadas e rearranjadas

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}={\frac {P_{0}}{V_{0}},{V_{0}}! }           {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}\,\!}(6)

Note-se que 1/kV(V0) e 1/kP(P0) são as encostas das linhas ortogonais paralelas ao eixo P/V e através desse ponto na superfície acima do plano PV. A razão das inclinações destas duas linhas depende apenas do valor de P0/V0 nesse ponto.

Note-se que a forma funcional de (6) não dependia do ponto particular escolhido. A mesma fórmula teria surgido para qualquer outra combinação de valores P e V. Por conseguinte, pode-se escrever

k V ( V ) k P ( P ) = P V P , V {\\i1}{k_{V}(V)}{k_{P}(P)}={\i}={\i1}frac {P}{V}{V}}quad P,{\i}forall P,{\i}forall V           {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{V}}\quad \forall P,\forall V}(7)

Isto diz que cada ponto da superfície tem o seu próprio par de linhas ortogonais através dele, com a sua relação de declive dependendo apenas desse ponto. Enquanto (6) é uma relação entre inclinações específicas e valores variáveis, (7) é uma relação entre funções de inclinação e variáveis de função. É válida para qualquer ponto da superfície, ou seja, para toda e qualquer combinação de valores P e V. Para resolver esta equação para a função kV(V), separar primeiro as variáveis, V à esquerda e P à direita.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)} {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Escolher qualquer pressão P1. O lado direito avalia com algum valor arbitrário, chame-lhe karb.

 } {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\!}          (8)

Esta equação particular deve agora manter-se verdadeira, não apenas para um valor de V, mas para todos os valores de V. A única definição de kV(V) que garante isto para todos os V e karb arbitrário é

k V ( V ) = k arb V {\i}{V}(V)={\i1}frac {k_{\i}}{V}}}{V} = k arb V {\i}displaystyle k_{V}(V)={\i1}frac {k_{\i}text{arb}}}} {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}{V}}}(9)

que pode ser verificada por substituição em (8).

Finalmente, a substituição (9) na lei de Gay-Lussac (4) e o rearranjo produz a lei do gás combinado

P V T = k arb {\i1}displaystyle {\i} {PV}=k_{\i1}text{\i},{\i}k_{\i1}arb}! } {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\!}

Note-se que embora a lei de Boyle não tenha sido utilizada nesta derivação, é facilmente deduzida do resultado. Geralmente, quaisquer duas das três leis iniciais são tudo o que é necessário neste tipo de derivação - todos os pares iniciais levam à mesma lei de gás combinada.

Aplicações

A lei do gás combinado pode ser usada para explicar a mecânica onde a pressão, a temperatura e o volume são afectados. Por exemplo: aparelhos de ar condicionado, frigoríficos e a formação de nuvens e também utilização em mecânica dos fluidos e termodinâmica.

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  • A lei de Dalton

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