Teoremas de incompletude de Gödel
O teorema da incompletude de Gödel é o nome dado a dois teoremas (verdadeiras declarações matemáticas), comprovado por Kurt Gödel em 1931. Eles são teoremas em lógica matemática.
Uma vez os matemáticos pensaram que tudo o que é verdade tem uma prova matemática. Um sistema que tem esta propriedade é chamado de completo; um sistema que não é chamado de incompleto. Além disso, as idéias matemáticas não devem ter contradições. Isto significa que elas não devem ser verdadeiras e falsas ao mesmo tempo. Um sistema que não inclua contradições é chamado de consistente. Estes sistemas são baseados em conjuntos de axiomas. Os axiomas são afirmações que são aceitas como verdadeiras e que não precisam de provas.
Gödel disse que todo sistema formal não trivial (interessante) ou é incompleto ou inconsistente:
- Sempre haverá perguntas que não podem ser respondidas, utilizando um certo conjunto de axiomas;
- Você não pode provar que um sistema de axiomas é consistente, a menos que você use um conjunto diferente de axiomas .
Esses teoremas são importantes para os matemáticos porque provam que é impossível criar um conjunto de axiomas que explique tudo em matemática.
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Perguntas e Respostas
P: O que são os teoremas da incompletude de Gödel?
R: Os teoremas da incompletude de Gödel são duas afirmações matemáticas verdadeiras, provadas por Kurt Gödel em 1931, no campo da lógica matemática.
P: O que é um sistema completo em matemática?
R: Um sistema completo em matemática é um sistema que tem a propriedade de que tudo o que é verdadeiro tem uma prova matemática.
P: O que é um sistema incompleto em matemática?
R: Um sistema incompleto em matemática é um sistema que não tem a propriedade de que tudo o que é verdadeiro tem uma prova matemática.
P: O que é um sistema consistente em matemática?
R: Um sistema consistente em matemática é um sistema que não inclui contradições, o que significa que as ideias matemáticas não devem ser verdadeiras e falsas ao mesmo tempo.
P: O que são axiomas em matemática?
R: Axiomas em matemática são afirmações aceitas como verdadeiras e que não requerem prova.
P: O que Gödel afirmou sobre todo sistema formal não trivial?
R: Gödel afirmou que todo sistema formal não trivial é incompleto ou inconsistente.
P: Por que os teoremas da incompletude de Gödel são importantes para os matemáticos?
R: Os teoremas da incompletude de Gödel são importantes para os matemáticos porque provam que é impossível criar um conjunto de axiomas que explique tudo na matemática.
