O teorema da incompletude de Gödel é o nome dado a dois teoremas (verdadeiras declarações matemáticas), comprovado por Kurt Gödel em 1931. Eles são teoremas em lógica matemática.
Uma vez os matemáticos pensaram que tudo o que é verdade tem uma prova matemática. Um sistema que tem esta propriedade é chamado de completo; um sistema que não é chamado de incompleto. Além disso, as idéias matemáticas não devem ter contradições. Isto significa que elas não devem ser verdadeiras e falsas ao mesmo tempo. Um sistema que não inclua contradições é chamado de consistente. Estes sistemas são baseados em conjuntos de axiomas. Os axiomas são afirmações que são aceitas como verdadeiras e que não precisam de provas.
Gödel disse que todo sistema formal não trivial (interessante) ou é incompleto ou inconsistente:
- Sempre haverá perguntas que não podem ser respondidas, utilizando um certo conjunto de axiomas;
- Você não pode provar que um sistema de axiomas é consistente, a menos que você use um conjunto diferente de axiomas .
Esses teoremas são importantes para os matemáticos porque provam que é impossível criar um conjunto de axiomas que explique tudo em matemática.