Os problemas de Hilbert
Em 1900, o matemático David Hilbert publicou uma lista de 23 problemas matemáticos não resolvidos. A lista de problemas acabou se revelando muito influente. Após a morte de Hilbert, outro problema foi encontrado em seus escritos; este é às vezes conhecido como o 24º problema de Hilbert hoje. Trata-se de encontrar critérios para mostrar que uma solução para um problema é a mais simples possível.
Dos 23 problemas, três não foram resolvidos em 2012, três eram muito vagos para serem resolvidos, e seis poderiam ser parcialmente resolvidos. Dada a influência dos problemas, o Clay Mathematics Institute formulou uma lista semelhante, chamada de Problemas do Prêmio Millennium em 2000.
Sumário
A formulação de certos problemas é melhor do que a de outros. Dos problemas de Hilbert formulados de forma limpa, os problemas 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20, e 21 têm uma resolução que é aceita por consenso. Por outro lado, os problemas 1, 2, 5, 9, 15, 18+, e 22 têm soluções que têm aceitação parcial, mas existe alguma controvérsia sobre se ela resolve o problema.
A solução para o problema 18, a conjectura Kepler, utiliza uma prova assistida por computador. Isto é controverso, porque um leitor humano é incapaz de verificar a prova em tempo razoável.
Isso deixa 16, 8 (a hipótese de Riemann) e 12 não resolvidas. Sobre esta classificação 4, 16 e 23 são muito vagas para serem descritas como resolvidas. Os 24 retirados também estariam nesta classe. 6 é considerado como um problema em física e não em matemática.
Tabela de problemas
Os vinte e três problemas de Hilbert são:
| Problema | Breve explicação | Status | Ano resolvido |
| 1o. | A hipótese da continuidade (ou seja, não há um conjunto cuja cardinalidade esteja estritamente entre a dos números inteiros e a dos números reais) | Provado ser impossível provar ou refutar dentro da teoria do conjunto Zermelo-Fraenkel com ou sem o Axioma da Escolha (desde que a teoria do conjunto Zermelo-Fraenkel com ou sem o Axioma da Escolha seja consistente, ou seja, não contenha dois teoremas tais que um seja uma negação do outro). Não há consenso sobre se esta é uma solução para o problema. | 1963 |
| 2o. | Provar que os axiomas da aritmética são consistentes. | Não há consenso sobre se os resultados de Gödel e Gentzen dão uma solução para o problema, como afirma Hilbert. O segundo teorema de Gödel, comprovado em 1931, mostra que nenhuma prova de sua consistência pode ser realizada dentro da própria aritmética. A prova de consistência de Gentzen (1936) mostra que a consistência da aritmética decorre da boa fundamentação do ordinal ε0. | 1936? |
| 3o. | Dado qualquer dois poliedros de volume igual, é sempre possível cortar o primeiro em peças finamente poliédricas que podem ser remontadas para render o segundo? | Resolvido. Resultado: não, provado com o uso de invariantes Dehn. | 1900 |
| 4o. | Construir todas as métricas onde as linhas são geodésicas. | Demasiado vago para ser declarado resolvido ou não. | – |
| 5o. | Os grupos contínuos são automaticamente grupos diferenciais? | Resolvido por Andrew Gleason ou Hidehiko Yamabe, dependendo de como a declaração original é interpretada. Se, no entanto, for entendida como equivalente à conjectura Hilbert-Smith, ela ainda está por resolver. | 1953? |
| 6o. | Axiomatizar toda a física | Parcialmente resolvido. | – |
| 7o. | É um b transcendental, para algébrico a ≠ 0,1 e algébrico irracional b ? | Resolvido. Resultado: sim, ilustrado pelo teorema de Gelfond ou o teorema de Gelfond-Schneider. | 1934 |
| 8o. | A hipótese de Riemann ("a parte real de qualquer zero não trivial da função zeta de Riemann é ½") e outros problemas de número primo, entre eles a conjectura de Goldbach e a conjectura de número primo duplo | Não resolvido. | – |
| 9o. | Encontrar a maioria das leis gerais do teorema da reciprocidade em qualquer campo numérico algébrico | Parcialmente resolvido. | – |
| 10º. | Encontre um algoritmo para determinar se uma determinada equação polinomial de Diophantine com coeficientes inteiros tem uma solução inteira. | Resolvido. Resultado: impossível, o teorema de Matiyasevich implica que não existe tal algoritmo. | 1970 |
| 11o. | Resolvendo formas quadráticas com coeficientes numéricos algébricos. | Parcialmente resolvido. [] | – |
| 12o. | Estender o teorema Kronecker-Weber sobre extensões abelianas dos números racionais para qualquer campo de números base. | Em parte resolvida pela teoria de campo de classe, embora a solução não seja tão explícita quanto o teorema de Kronecker-Weber. | – |
| 13o. | Solucionando equações de 7o grau usando funções contínuas de dois parâmetros. | Não resolvido. O problema foi parcialmente resolvido por Vladimir Arnold com base no trabalho de Andrey Kolmogorov. | 1957 |
| 14o. | O anel de invariantes de um grupo algébrico agindo sobre um anel polinomial é sempre finitamente gerado? | Resolvido. Resultado: não, o contra-exemplo foi construído pela Masayoshi Nagata. | 1959 |
| 15 | Rigorosa base do cálculo enumerativo de Schubert. | Parcialmente resolvido. [] | – |
| 16o. | Descrever posições relativas de ovais originários de uma curva algébrica real e como ciclos limite de um campo vetorial polinomial no plano. | Não resolvido. | – |
| 17o. | Expressão da função racional definida como quociente de somas de quadrados | Resolvido por Emil Artin e Charles Delzell. Resultado: Foi estabelecido um limite superior para o número de termos quadrados necessários. Encontrar um limite inferior ainda é um problema em aberto. | 1927 |
| 18 | (a) Existe um poliedro que admite apenas um azulejo anisoédrico em três dimensões? | (a) Resolvido. Resultado: sim (por Karl Reinhardt). | (a) 1928 |
| 19 | As soluções dos Lagrangianos são sempre analíticas? | Resolvido. Resultado: sim, comprovado por Ennio de Giorgi e, independentemente e usando métodos diferentes, por John Forbes Nash. | 1957 |
| 20 | Todos os problemas variacionais com certas condições de contorno têm soluções? | Resolvido. Um tópico significativo de pesquisa ao longo do século XX, culminando em soluções[] para o caso não-linear. | – |
| 21 | Comprovação da existência de equações diferenciais lineares com um grupo monodrómico prescrito | Resolvido. Resultado: Sim ou não, dependendo de formulações mais exatas do problema. [] | – |
| 22o. | Uniformização das relações analíticas por meio de funções autômorfas | Resolvido. [] | – |
| 23o. | Desenvolvimento posterior do cálculo de variações | Não resolvido. | – |
Perguntas e Respostas
P: Quem publicou uma lista de 23 problemas matemáticos não resolvidos em 1900?
R: David Hilbert publicou uma lista de 23 problemas matemáticos não resolvidos em 1900.
P: O 24º problema de Hilbert fazia parte da lista original?
R: Não, o 24º problema de Hilbert foi encontrado nos escritos de Hilbert após sua morte.
P: Qual é o tema do 24º problema de Hilbert?
R: O 24º problema de Hilbert trata de encontrar critérios para mostrar que uma solução para um problema é a mais simples possível.
P: Todos os 23 problemas da lista de Hilbert foram resolvidos até 2012?
R: Não, três dos 23 problemas da lista de Hilbert não foram resolvidos em 2012.
P: Algum dos problemas da lista de Hilbert era muito vago para ser resolvido?
R: Sim, três dos problemas da lista de Hilbert eram muito vagos para serem resolvidos.
P: Quantos dos problemas da lista de Hilbert poderiam ser parcialmente resolvidos?
R: Seis dos problemas da lista de Hilbert podem ser parcialmente resolvidos.
P: O Clay Mathematics Institute criou uma lista semelhante aos problemas de Hilbert?
R: Sim, o Clay Mathematics Institute criou uma lista semelhante chamada Problemas do Prêmio do Milênio em 2000.
