Hipótese de Riemann

Qual é a função da zeta Riemann?

A função Riemann zeta é um tipo de função. Funções são coisas na matemática como equações. As funções absorvem números e devolvem outros números. Isto é como obter uma resposta de volta quando se faz uma pergunta. O número que você coloca é chamado de "input". O número que você recebe de volta é chamado de "valor". Cada entrada que você coloca na função Riemann zeta lhe dá um valor especial de volta. A maioria das vezes, você recebe um valor diferente para cada entrada. Mas cada input lhe dá o mesmo valor toda vez que você o usa. Tanto a entrada que você dá, quanto o valor que você recebe da função Riemann zeta são números especiais chamados de números complexos. Um número complexo é um número com duas partes.

O que é uma raiz não trivial?

Às vezes, quando você coloca uma entrada na função zeta Riemann, você recebe o número zero de volta. Quando isso acontece, você chama essa entrada de raiz da função zeta de Riemann. Você chama a entrada de "raiz" quando ela lhe dá zero. Muitas raízes foram encontradas. Mas algumas raízes são mais fáceis de encontrar do que outras. Nós chamamos as raízes de "trivial" ou "não trivial". Chamamos uma raiz de "trivial" se ela for fácil de encontrar. Mas chamamos uma raiz de "não trivial", se for difícil de encontrar. As raízes triviais são números chamados de "números inteiros até negativos". A razão pela qual pensamos que elas são fáceis é porque são fáceis de encontrar. Existem regras puras que dizem o que são as raízes triviais. Sabemos o que são as raízes triviais por causa da equação que Bernhard Riemann deu. Essa equação foi chamada "a equação funcional de Riemann".

Como encontramos raízes não-triviais?

As raízes não-triviais são mais difíceis de encontrar. Elas são mais difíceis de encontrar do que as raízes triviais. Elas não têm as mesmas regras puras que dizem o que elas são. Embora sejam difíceis de encontrar, muitas raízes não triviais já foram encontradas. Lembre-se de que o valor da função zeta de Riemann era uma espécie de número chamado de número complexo. E lembre-se de que os números complexos têm duas partes. Uma dessas partes é chamada de "parte real". Notamos uma coisa interessante sobre a parte real das raízes não-triviais. Todas as raízes não-triviais que encontramos têm uma parte real que é o mesmo número. Este número é 1/2, o que é uma fração. Isto nos leva à grande pergunta de Riemann, que é sobre quão grandes são as partes reais. Esta pergunta é a hipótese de Riemann. A pergunta é "todas as raízes não triviais têm uma parte real 1/2?". Ainda estamos tentando descobrir se a resposta é "sim" ou "não".

Ainda não sabemos a resposta para a pergunta. Mas conhecemos alguns bons fatos. Estes fatos podem nos ajudar. Há uma maneira de encontrarmos fatos sobre as partes reais das raízes não triviais. Isto é com a equação especial de Riemann (a equação funcional de Riemann). A equação funcional de Riemann nos informa sobre o tamanho das partes reais. Ela diz que todos os zeros não triviais têm uma parte real próxima a 1/2. Ela diz quão pequenas as partes reais podem ser, e quão grandes elas podem ser. Mas não diz exatamente o que elas são. Especificamente, diz que as partes reais têm que ser maiores que 0. Mas elas têm que ser menores que 1. Mas ainda não sabemos se pode haver uma raiz não trivial com uma parte real muito próxima de 1/2. Talvez haja, mas simplesmente ainda não a encontramos. O grupo de números complexos que tem uma parte real maior que 0 mas menor que 1 é chamado de "faixa crítica".

A figura no canto superior direito desta página mostra a função zeta de Riemann. As raízes não-triviais são mostradas com os pontos brancos. Eles parecem estar todos em uma linha no meio da imagem. Não estão muito longe para a esquerda e nem muito longe para a direita. A verdadeira parte é o quão longe estão da esquerda para a direita. Estar no meio da imagem significa que eles têm uma parte real de 1/2. Portanto, todas as raízes não triviais na figura têm uma parte real de 1/2. Mas nossa imagem não mostra tudo porque a função zeta de Riemann é muito grande para mostrar. Então, e quanto às raízes não triviais acima e abaixo da imagem? Estariam elas também no meio? E se elas quebrarem o padrão de estar no meio? Elas poderiam estar ligeiramente à esquerda ou à direita. A hipótese de Riemann pergunta se cada raiz não trivial (ponto branco) estaria na linha do meio. Se a resposta for não, dizemos que a "hipótese é falsa". Isto significaria que há pontos brancos que não estão na linha dada.