Lei de grandes números

Autor: Leandro Alegsa

26-01-2021

A lei dos grandes números (LLN) é um teorema das estatísticas. Considere alguns processos nos quais ocorrem resultados aleatórios. Por exemplo, uma variável aleatória é observada repetidamente. Então, a média dos valores observados será estável, a longo prazo. Isto significa que, a longo prazo, a média dos valores observados ficará cada vez mais próxima do valor esperado.

Ao lançar os dados, os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são resultados possíveis. Todos eles são igualmente prováveis. A média da população (ou "valor esperado") dos resultados é:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.

O gráfico a seguir mostra os resultados de uma experiência de rolos de um molde. Neste experimento pode ser visto que a média de rolos de matriz varia muito no início. Como previsto pela LLN, a média se estabiliza em torno do valor esperado de 3,5 à medida que o número de observações se torna grande.

A demonstration of the Law of Large Numbers using die rolls

História

Jacob Bernoulli descreveu pela primeira vez a LLN. Ele diz que era tão simples que até o homem mais estúpido instintivamente sabe que é verdade. Apesar disso, ele levou mais de 20 anos para desenvolver uma boa prova matemática. Uma vez encontrada, ele publicou a prova em Ars Conjectandi (A Arte de Conjecturar) em 1713. Ele chamou isto de seu "Teorema de Ouro". Tornou-se geralmente conhecido como "Teorema de Bernoulli" (não confundir com a Lei em Física com o mesmo nome.) Em 1835, S.DPoisson o descreveu mais adiante sob o nome "La loi des grands nombres" (A lei dos grandes números). Posteriormente, foi conhecida sob ambos os nomes, mas a "Lei dos grandes números" é mais freqüentemente usada.

Outros matemáticos também contribuíram para tornar a lei melhor. Alguns deles foram Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli e Kolmogorov. Após estes estudos, existem agora duas formas diferentes de lei: Uma é chamada de lei "fraca" e a outra de lei "forte". Estas formas não descrevem leis diferentes. Elas têm formas diferentes de descrever a convergência da probabilidade observada ou medida para a probabilidade real. A forma forte da lei implica na forma fraca.

Perguntas e Respostas

Q: O que é a lei dos grandes números?

R: A lei dos grandes números é um teorema estatístico que afirma que, se um processo aleatório for observado repetidamente, a média dos valores observados será estável a longo prazo.

P: O que significa a lei dos grandes números?

R: A lei dos grandes números significa que, à medida que o número de observações aumenta, a média dos valores observados se aproxima cada vez mais do valor esperado.

P: O que é um valor esperado?

R: Um valor esperado é a média populacional dos resultados de um processo aleatório.

P: Qual é o valor esperado do lançamento de um dado?

R: O valor esperado do lançamento de um dado é a soma dos resultados possíveis dividida pelo número de resultados: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.

P: O que o gráfico no texto mostra em relação à lei dos grandes números?

R: O gráfico mostra que a média dos lançamentos de dados varia muito no início, mas, conforme previsto pela LLN, a média se estabiliza em torno do valor esperado de 3,5 à medida que o número de observações se torna grande.

P: Como a lei dos grandes números se aplica ao lançamento de dados?

R: A lei dos grandes números se aplica ao lançamento de dados porque, à medida que o número de lançamentos aumenta, a média dos lançamentos se aproxima cada vez mais do valor esperado de 3,5.

P: Por que a lei dos grandes números é importante na estatística?

R: A lei dos grandes números é importante para a estatística porque fornece uma base teórica para a ideia de que os dados tendem a se aproximar da média em um grande número de observações. Ela é a base de muitos métodos estatísticos, como intervalos de confiança e testes de hipóteses.