Lei dos Pecados

A regra senoidal ou lei dos pecados, é um teorema em matemática. Diz que, se se tiver um triângulo como o da figura, a equação abaixo é verdadeira.

a sin A = b sin B = c sin C = D sin C = d displaystyle {\i1}frac {\i}{\i1}, =,=,{\i}frac {\i}b = sin B = c sin C = D } {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!}

Esta é outra versão, o que também é verdade.

pecado A a = pecado B b = pecado C c c c c = pecado A = pecado B b = pecado C c c c = pecado C c c = pecado A } {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!}

D é igual ao diâmetro da circunferência do triângulo.

A lei dos pecados é usada para encontrar os restantes lados de um triângulo quando se conhecem dois ângulos e um lado. Isto é conhecido como triangulação. No entanto, este cálculo pode ter um erro numérico se um ângulo estiver próximo dos 90 graus. A lei dos pecados também pode ser usada quando se conhecem dois lados e um dos ângulos que não estão fechados pelos dois lados. Em alguns desses casos, a fórmula dá dois valores possíveis para o ângulo fechado. A isto chama-se um caso ambíguo.

A lei dos pecados é uma de duas equações trigonométricas que é usada para encontrar comprimentos e ângulos em triângulos de escaleno. A outra é a lei dos cossenos.

Um triângulo etiquetado com as letras necessárias para esta explicação. A, B e C são os ângulos. a é o lado oposto A . b é o lado oposto B . c é o lado oposto C
Um triângulo etiquetado com as letras necessárias para esta explicação. A, B e C são os ângulos. a é o lado oposto A . b é o lado oposto B . c é o lado oposto C

Comprovação

A área T {\displaystyle T}{\displaystyle T} de qualquer triângulo pode ser escrita como metade da sua base vezes a sua altura (desenhada a partir do vértice não sobre a base). Dependendo do lado que se escolhe para ser a base, a área pode ser dada por

T = 1 2 b ( c pecado A ) = 1 2 c ( a pecado B ) = 1 2 a ( b pecado C ) . T={\i1}displaystyle T=frac {\i}{2}b(c)={\i1}frac {2}c(a)={\i1}frac {2}(a)={\i}frac {1}a(b)sin C){2},. } {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.}

Multiplicando estes por 2 / a b c {\i1}displaystyle 2/abc{\displaystyle 2/abc}

2 T a b c = pecado A a = pecado B b = pecado C c . estilo de jogo frac 2Tabc,. } {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.}


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