Os dois quantificadores mais amplamente utilizados são o quantificador universal e o quantificador de existência.
O quantificador universal é usado para afirmar que para os elementos de um conjunto, todos os elementos correspondem a alguns critérios. Normalmente, esta afirmação "para todos os elementos" é abreviada para um "A" virado de cabeça para baixo, que é "∀".
O quantificador existencial é usado para afirmar que para elementos de um conjunto, existe pelo menos um elemento que corresponde a alguns critérios. Normalmente, esta afirmação "existe um elemento" é abreviada para um "E" virado de cabeça para baixo, que é "∃".
Podemos reescrever um exemplo de declaração em inglês com símbolos, predicados que representam critérios e quantificadores. O exemplo é "Cada um dos amigos de Peter ou gosta de dançar ou gosta de ir à praia". Que X seja o conjunto de todos os amigos de Peter. Deixe P(x) ser o predicado "x gosta de dançar". Que P(x) seja o predicado "x gosta de ir à praia". Podemos reescrever o exemplo usando notação formal como ∀ x ∈ X , P ( x ) ∨ Q ( x ) {\i} {\i} {\i} {\i} {\i1}x,P(x){\i}lor Q(x)} 
. A declaração pode ser lida como "para cada x que é membro de X, P se aplica a x ou Q se aplica a x".
Existem outras formas de utilizar quantificadores em linguagem formal. Cada uma das seguintes declarações abaixo diz a mesma coisa que ∃ x ∈ X , P ( x ) {\i1}existe {x}{\i}{\i}X,P(x)}
:
- ∃ x P {\i1}existe {x}P
- ( ∃ x ) P {\i1}existe (existe {x})P}
- ( ∃ x . P ) estilo de jogo (existe x . P)}
- ∃ x ⋅ P {\i1}existe xcdot P
- ( ∃ x : P ) estilo de jogo (existe x:P)}
- ∃ x ∈ X P {\\i1}existe {\i}{\i}X,P
- ∃ x : X P {\\i1}existe
Há mais algumas maneiras de representar o quantificador universal:
- ( x ) P {\i1}estilo de exibição (x){,P
- ⋀ x P {\i1}displaystyle {\i}bigwedge _{\i}P
Várias declarações acima incluem explicitamente X, o conjunto de elementos aos quais o quantificador se aplica. Este conjunto de elementos também é conhecido como a gama de quantificação, ou o universo do discurso. Algumas das afirmações acima não incluem tal conjunto. Neste caso, o conjunto terá que ser especificado antes da declaração. Por exemplo, "x é uma maçã" deve ser declarado antes de ∃ x P ( x ) {\i1}existe {x}P(x)}
. Neste caso, estamos fazendo uma declaração de que pelo menos uma maçã se encaixa no predicado P.
O uso de quantificadores formalmente não requer o uso do símbolo x. O símbolo x foi usado ao longo deste artigo, mas qualquer símbolo pode ser usado, como y. Certifique-se de não se referir a duas coisas diferentes com o mesmo símbolo ao escolher símbolos.
![{\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\left\{0,1,2\right\}}](https://www.alegsaonline.com/image/43cd6e63f05602d0774652b6daac21303199aa9b.svg)