Quantificador lógico

Em lógica, um quantificador é uma forma de afirmar que um certo número de elementos preenche alguns critérios. Por exemplo, cada número natural tem outro número natural maior do que ele. Neste exemplo, a palavra "cada" é um quantificador. Portanto, a frase "todo número natural tem outro número natural maior do que ele" é uma expressão quantificada. Quantificadores e expressões quantificadas são uma parte útil dos idiomas formais. Eles são úteis porque permitem que declarações rigorosas afirmem quão difundido é um critério. Dois tipos básicos de quantificadores usados em lógica predicada são os quantificadores universais e os quantificadores existenciais. Um quantificador universal afirma que todos os elementos considerados preenchem os critérios. O quantificador universal é simbolizado com "∀", um "A" de cabeça para baixo, para significar "todos". Um quantificador de existência (simbolizado com "∃") afirma que pelo menos um elemento considerado atende aos critérios. O quantificador existencial é simbolizado com "∃", um "E" para trás, para significar "existe".

Os quantificadores também são utilizados em idiomas naturais. Exemplos de quantificadores em inglês são para todos, para alguns, muitos, poucos, muito, e não.

Matemática

Esta afirmação é infinitamente longa:

1 - 2 = 1 + 1, e 2 - 2 = 2 + 2, e 3 - 2 = 3 + 3, ..., e 100 - 2 = 100 + 100, e ..., etc.

Este é um problema para os idiomas formais, uma vez que uma declaração formal precisa ser finita em comprimento. Estes problemas podem ser evitados através da quantificação universal. Isto resulta na seguinte declaração compacta:

Para cada número natural n, n - 2 = n + n.

Da mesma forma, podemos encurtar uma seqüência infinita de declarações unidas por ou:

1 é igual a 5 + 5, ou 2 é igual a 5 + 5, ou 3 é igual a 5 + 5, ... ou 100 é igual a 5 + 5, ou ..., etc.

que pode ser reescrita utilizando a quantificação existencial:

Para pelo menos um número natural n, n é igual a 5+5.

Notação

Os dois quantificadores mais amplamente utilizados são o quantificador universal e o quantificador de existência.

O quantificador universal é usado para afirmar que para os elementos de um conjunto, todos os elementos correspondem a alguns critérios. Normalmente, esta afirmação "para todos os elementos" é abreviada para um "A" virado de cabeça para baixo, que é "∀".

O quantificador existencial é usado para afirmar que para elementos de um conjunto, existe pelo menos um elemento que corresponde a alguns critérios. Normalmente, esta afirmação "existe um elemento" é abreviada para um "E" virado de cabeça para baixo, que é "∃".

Podemos reescrever um exemplo de declaração em inglês com símbolos, predicados que representam critérios e quantificadores. O exemplo é "Cada um dos amigos de Peter ou gosta de dançar ou gosta de ir à praia". Que X seja o conjunto de todos os amigos de Peter. Deixe P(x) ser o predicado "x gosta de dançar". Que P(x) seja o predicado "x gosta de ir à praia". Podemos reescrever o exemplo usando notação formal como x X , P ( x ) Q ( x ) {\i} {\i} {\i} {\i} {\i1}x,P(x){\i}lor Q(x)} {\displaystyle \forall {x}{\in }X,P(x)\lor Q(x)}. A declaração pode ser lida como "para cada x que é membro de X, P se aplica a x ou Q se aplica a x".

Existem outras formas de utilizar quantificadores em linguagem formal. Cada uma das seguintes declarações abaixo diz a mesma coisa que x X , P ( x ) {\i1}existe {x}{\i}{\i}X,P(x)}{\displaystyle \exists {x}{\in }X,P(x)} :

  • x P {\i1}existe {x}P {\displaystyle \exists {x}P}
  • ( x ) P {\i1}existe (existe {x})P} {\displaystyle (\exists {x})P}
  • ( x . P ) estilo de jogo (existe x . P)} {\displaystyle (\exists x\ .\ P)}
  • x ⋅ P {\i1}existe xcdot P {\displaystyle \exists x\ \cdot \ P}
  • ( x : P ) estilo de jogo (existe x:P)} {\displaystyle (\exists x:P)}
  • x X P {\\i1}existe {\i}{\i}X,P {\displaystyle \exists {x}{\in }X\,P}
  • x : X P {\\i1}existe {\displaystyle \exists \,x{:}X\,P}

Há mais algumas maneiras de representar o quantificador universal:

  • ( x ) P {\i1}estilo de exibição (x){,P {\displaystyle (x)\,P}
  • x P {\i1}displaystyle {\i}bigwedge _{\i}P {\displaystyle \bigwedge _{x}P}

Várias declarações acima incluem explicitamente X, o conjunto de elementos aos quais o quantificador se aplica. Este conjunto de elementos também é conhecido como a gama de quantificação, ou o universo do discurso. Algumas das afirmações acima não incluem tal conjunto. Neste caso, o conjunto terá que ser especificado antes da declaração. Por exemplo, "x é uma maçã" deve ser declarado antes de x P ( x ) {\i1}existe {x}P(x)}{\displaystyle \exists {x}P(x)} . Neste caso, estamos fazendo uma declaração de que pelo menos uma maçã se encaixa no predicado P.

O uso de quantificadores formalmente não requer o uso do símbolo x. O símbolo x foi usado ao longo deste artigo, mas qualquer símbolo pode ser usado, como y. Certifique-se de não se referir a duas coisas diferentes com o mesmo símbolo ao escolher símbolos.

Aninhamento

É importante colocar os quantificadores na ordem correta. Este é um exemplo de frase em inglês que mostra como o significado muda com a ordem:

Para cada número natural n, existe um número natural s tal que s = n2.

Esta afirmação é verdadeira. Ela afirma que cada número natural tem um quadrado. No entanto, se virarmos a ordem dos quantificadores:

Existe um número natural s, tal que para cada número natural n, s = n2.

Esta afirmação é falsa. Ela afirma que há um número natural s que é o quadrado de cada número natural.

Em certas circunstâncias, mudar a ordem dos quantificadores não altera o significado da declaração. Por exemplo:

Existe um número natural x, e existe um número natural y tal que x = y2.

Outros quantificadores

Há também quantificadores menos comuns usados pelos matemáticos.

Um exemplo é o quantificador de soluções. Ele é usado para declarar quais elementos resolvem uma equação em particular. O quantificador de solução é representado por um § (sinal de seção). Por exemplo, a seguinte afirmação afirma que os quadrados de 0, 1 e 2 são menores que 4 : [ § n N n 2 ≤ 4 ] = { 0 , 1 , 2 } Estilo de jogo Esquerda [S nin mathbbb] n^2leq 4 direita] = esquerda [0,1,2 direita] {\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\left\{0,1,2\right\}}

Outros quantificadores são:

  • Há muitos elementos tais que...
  • Há poucos elementos tais que...
  • Há infinitamente muitos elementos tais que...
  • Para todos os elementos, menos finitos... (às vezes expressos como "para quase todos os elementos...").
  • incontáveis elementos tais que...
  • Para todos os elementos, exceto para muitos outros.

História

A lógica do termo foi desenvolvida por Aristóteles. Era uma forma inicial de lógica, e incluía quantificação. O uso da quantificação era mais próximo ao da linguagem natural. Isto significava que as declarações em lógica de termos com quantificadores eram menos adequadas para análise formal. A lógica de termos incluía quantificadores para Todos, Alguns e Nenhum (nenhum) no século IV AC.

Em 1879, a Gottlob Frege criou uma notação para quantificação universal. Ao contrário de hoje, ele representaria uma quantificação universal escrevendo uma variável sobre uma covinha em uma linha reta de outra forma. Frege não criou uma notação para a quantificação existencial. Ao invés disso, ele combinou a quantificação universal e uma série de negações para fazer uma declaração equivalente. O uso da quantificação por Frege não era amplamente conhecido até os Princípios de Matemática de 1903 de Bertrand Russell.

Em 1885, Charles Sanders Peirce e seu aluno Oscar Howard Mitchell também criaram uma notação para quantificadores universais e existenciais. Eles escreveram Πx e Σx onde agora escrevemos ∀x e ∃x. A notação de Pierce foi utilizada por muitos matemáticos na década de 1950.

Em 1897, William Ernest Johnson e Giuseppe Peano criaram outra notação para quantificação universal e existencial. Eles foram influenciados pela anterior notação de quantificação de Pierce. Johnson e Peano usaram a simples (x) para quantificação universal, e ∃x para quantificação existencial. A influência de Peano na matemática espalhou esta notação por toda a Europa.

Em 1935, Gerhard Gentzen criou o símbolo para a quantificação universal. Ele não foi amplamente utilizado até os anos 60.

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