Conjecturas de Poincaré
A Conjectura Poincaré é uma questão sobre esferas na matemática. Ela recebeu o nome de Henri Poincaré, o matemático e físico francês que a formulou em 1904.
A esfera (também chamada de 2-esfera, por ser uma superfície bidimensional, embora seja geralmente vista como dentro de um espaço tridimensional) tem a propriedade de que qualquer laço nela pode ser contraído até um ponto (se uma faixa de borracha for enrolada ao redor da esfera, é possível deslizá-la até um ponto). Os matemáticos dizem que a 2-esfera está simplesmente conectada. Outros espaços não têm esta propriedade, por exemplo, o donut: um elástico que contorna o donut inteiro uma vez não pode ser deslizado até um ponto sem que ele deixe a superfície.
Os matemáticos sabiam que esta propriedade era exclusiva da 2-esfera, no sentido de que qualquer outro espaço simplesmente conectado que não tenha bordas e seja suficientemente pequeno (em termos matemáticos, isso é compacto) é de fato a 2-esfera. Não é mais verdade, porém, se removermos a idéia de pequenez, já que um plano infinitamente grande também está simplesmente conectado. Além disso, um disco normal (um círculo e seu interior) é simplesmente conectado, mas ele tem uma borda (o círculo de delimitação).
A conjectura pergunta se o mesmo é verdade para a esfera 3, que é um objeto que vive naturalmente em quatro dimensões. Esta questão motivou muito da matemática moderna, especialmente no campo da topologia. A questão foi finalmente resolvida em 2002 por Grigori Perelman, um matemático russo, com métodos de geometria, mostrando que ela é de fato verdadeira. Ele recebeu uma Medalha Fields e o Prêmio Milênio de US$ 1 milhão por seu trabalho, ambos declinados por ele.
A conjectura de Poincaré também pode ser estendida a dimensões mais elevadas: esta é a conjectura generalizada de Poincaré. Surpreendentemente, foi mais fácil provar o fato para as esferas de dimensões mais elevadas: em 1960, Smale provou que isso era verdade para as esferas de 5, 6 e superiores. Em 1982, Freedman provou que isso também era verdade para a esfera 4-esfera, pela qual recebeu uma Medalha Fields.
Perguntas e Respostas
P: O que é a Conjectura Poincaré?
R: A Conjectura Poincaré é uma pergunta sobre esferas na matemática, com o nome de Henri Poincaré, que pergunta se certas propriedades da 2-esfera também são verdadeiras para a 3-esfera.
P: Que propriedade tem a 2-esfera?
R: A 2-esfera tem a propriedade de que qualquer laço nela pode ser contratado até certo ponto.
P: Esse imóvel é único para a 2-sphere?
R: Esta propriedade é única para a 2-sphere em termos de pequenos espaços que não têm bordas. No entanto, um plano infinitamente grande e um disco regular (um círculo e seu interior) estão ambos simplesmente conectados, mas eles têm bordas.
P: Quem provou que isso era verdade para as esferas de dimensões mais elevadas?
R: Em 1960, Smale provou que isso era verdade para 5-esferas, 6-esferas e mais altas, e em 1982 Freedman provou que isso também era verdade para as esferas de 4 dimensões.
P: Quem resolveu a conjectura de Poincaré?
R: A conjectura de Poincaré foi resolvida por Grigori Perelman, um matemático russo que usou métodos de geometria para mostrar que ela é de fato verdadeira.
P: Que prêmios Perelman recebeu por seu trabalho?
R: Perelman recebeu uma Medalha Fields e um prêmio Millenium de um milhão de dólares por seu trabalho na solução da conjectura de Poincaré; no entanto, ele recusou ambos os prêmios.
