Número quadrado

Os quadrados (seqüência A000290 no OEIS) são menores que 702:

Existem infinitamente muitos números quadrados, assim como existem infinitamente muitos números naturais.

O número m é um número quadrado se e somente se for possível compor um quadrado de m quadrados iguais (menores):

Um quadrado com comprimento lateral n tem área n2.

A expressão para o número n2 é n2. Isto também é igual à soma dos primeiros números n ímpares como pode ser visto nas figuras acima, onde um quadrado resulta do anterior adicionando um número ímpar de pontos (mostrado em magenta). A fórmula é a seguinte:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . n^{2}=sum _{k=1}^{n}(2k-1). }

Assim, por exemplo, ⁵² =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Um número quadrado pode terminar apenas com os dígitos 0, 1, 4, 6, 9, ou 25 na base 10, como se segue:

1. Se o último dígito de um número for 0, seu quadrado termina em um número par de 0s (portanto, pelo menos 00) e os dígitos que precedem o 0s final também devem formar um quadrado.
2. Se o último dígito de um número for 1 ou 9, seu quadrado termina em 1 e o número formado por seus dígitos anteriores deve ser divisível por quatro.
3. Se o último dígito de um número for 2 ou 8, seu quadrado termina em 4 e o dígito anterior deve ser igual.
4. Se o último dígito de um número for 3 ou 7, seu quadrado termina em 9 e o número formado por seus dígitos anteriores deve ser divisível por quatro.
5. Se o último dígito de um número for 4 ou 6, seu quadrado termina em 6 e o dígito anterior deve ser ímpar.
6. Se o último dígito de um número for 5, seu quadrado termina em 25 e os dígitos anteriores devem ser 0, 2, 06, ou 56.

Um número quadrado não pode ser um número perfeito.

Todas as quatro potências, sexta potência, oitava potência, etc., são quadrados perfeitos.

• Se o número for da forma m5 onde m representa os dígitos anteriores, seu quadrado é n25 onde n = m × (m + 1) e representa dígitos antes de 25. Por exemplo, o quadrado de 65 pode ser calculado por n = 6 × (6 + 1) = 42, o que torna o quadrado igual a 4225.
• Se o número for da forma m0 onde m representa os dígitos anteriores, seu quadrado é n00 onde n = ^m2. Por exemplo, o quadrado de 70 é 4900.
• Se o número tem dois dígitos e é da forma 5m onde m representa os dígitos das unidades, seu quadrado é AABB onde AA = 25 + m e BB = ^m2. Exemplo: Para calcular o quadrado de 57, 25 + 7 = 32 e ⁷² = 49, o que significa 572 = 3249.

Os quadrados de números pares são pares (e na verdade divisíveis por 4), já que (2n)² = 4n2.

Os quadrados de números ímpares são ímpares, já que (2n + 1)² = 4(n2 + n) + 1.

Segue-se que as raízes quadradas de números quadrados pares são pares, e as raízes quadradas de números quadrados ímpares são ímpares.

Como todos os números pares são divisíveis por 4, os números pares do formulário 4n + 2 não são números quadrados.

Como todos os números ímpares quadrados são do formulário 4n + 1, os números ímpares do formulário 4n + 3 não são números quadrados.

Os quadrados de números ímpares são da forma 8n + 1, já que (2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1 e n(n + 1) é um número par.