Número quadrado

Um número quadrado, às vezes também chamado de quadrado perfeito, é o resultado de um número inteiro multiplicado por si mesmo. Os números 1, 4, 9, 16 e 25 são os primeiros cinco números quadrados. Em uma fórmula, o quadrado de um número n é denotado n2 (exponenciação), geralmente pronunciado como "n ao quadrado". O nome número quadrado vem do nome da forma; veja abaixo.

Os números quadrados são não-negativos. Outra forma de dizer que um número (não negativo) é um número quadrado, é que sua raiz quadrada é novamente um número inteiro. Por exemplo, √9 = 3, portanto 9 é um número quadrado.

Exemplos

Os quadrados (seqüência A000290 no OEIS) são menores que 702:

02 =0

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25

62 = 36

72 = 49

82 = 64

92 = 81

102 =100

112 = 121

122 = 144

132 = 169

142 = 196

152 = 225

162 = 256

172 = 289

182 = 324

192 = 361

202 = 400

212 = 441

222 = 484

232 = 529

242 = 576

252 = 625

262 = 676

272 = 729

282 = 784

292 = 841

302 = 900

312 = 961

322 = 1024

332 = 1089

342 = 1156

352 = 1225

362 = 1296

372 = 1369

382 = 1444

392 = 1521

402 = 1600

412 = 1681

422 = 1764

432 = 1849

442 = 1936

452 = 2025

462 = 2116

472 = 2209

482 = 2304

492 = 2401

502 = 2500

512 = 2601

522 = 2704

532 = 2809

542 = 2916

552 = 3025

562 = 3136

572 = 3249

582 = 3364

592 = 3481

602 = 3600

612 = 3721

622 = 3844

632 = 3969

642 = 4096

652 = 4225

662 = 4356

672 = 4489

682 = 4624

692 = 4761

Existem infinitamente muitos números quadrados, assim como existem infinitamente muitos números naturais.

Imóveis

O número m é um número quadrado se e somente se for possível compor um quadrado de m quadrados iguais (menores):

m = 12 = 1

m = 22 = 4

m = 32 = 9

m = 42 = 16

m = 52 = 25

Nota: Os espaços brancos entre os quadrados servem apenas para melhorar a percepção visual.
Não deve haver lacunas entre os quadrados reais.

Um quadrado com comprimento lateral n tem área n2.

A expressão para o número n2 é n2. Isto também é igual à soma dos primeiros números n ímpares como pode ser visto nas figuras acima, onde um quadrado resulta do anterior adicionando um número ímpar de pontos (mostrado em magenta). A fórmula é a seguinte:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . n^{2}=sum _{k=1}^{n}(2k-1). } {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}

Assim, por exemplo, 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Um número quadrado pode terminar apenas com os dígitos 0, 1, 4, 6, 9, ou 25 na base 10, como se segue:

  1. Se o último dígito de um número for 0, seu quadrado termina em um número par de 0s (portanto, pelo menos 00) e os dígitos que precedem o 0s final também devem formar um quadrado.
  2. Se o último dígito de um número for 1 ou 9, seu quadrado termina em 1 e o número formado por seus dígitos anteriores deve ser divisível por quatro.
  3. Se o último dígito de um número for 2 ou 8, seu quadrado termina em 4 e o dígito anterior deve ser igual.
  4. Se o último dígito de um número for 3 ou 7, seu quadrado termina em 9 e o número formado por seus dígitos anteriores deve ser divisível por quatro.
  5. Se o último dígito de um número for 4 ou 6, seu quadrado termina em 6 e o dígito anterior deve ser ímpar.
  6. Se o último dígito de um número for 5, seu quadrado termina em 25 e os dígitos anteriores devem ser 0, 2, 06, ou 56.

Um número quadrado não pode ser um número perfeito.

Todas as quatro potências, sexta potência, oitava potência, etc., são quadrados perfeitos.

Casos especiais

  • Se o número for da forma m5 onde m representa os dígitos anteriores, seu quadrado é n25 onde n = m × (m + 1) e representa dígitos antes de 25. Por exemplo, o quadrado de 65 pode ser calculado por n = 6 × (6 + 1) = 42, o que torna o quadrado igual a 4225.
  • Se o número for da forma m0 onde m representa os dígitos anteriores, seu quadrado é n00 onde n = m2. Por exemplo, o quadrado de 70 é 4900.
  • Se o número tem dois dígitos e é da forma 5m onde m representa os dígitos das unidades, seu quadrado é AABB onde AA = 25 + m e BB = m2. Exemplo: Para calcular o quadrado de 57, 25 + 7 = 32 e 72 = 49, o que significa 572 = 3249.

Números ímpares e pares

Os quadrados de números pares são pares (e na verdade divisíveis por 4), já que (2n)2 = 4n2.

Os quadrados de números ímpares são ímpares, já que (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

Segue-se que as raízes quadradas de números quadrados pares são pares, e as raízes quadradas de números quadrados ímpares são ímpares.

Como todos os números pares são divisíveis por 4, os números pares do formulário 4n + 2 não são números quadrados.

Como todos os números ímpares quadrados são do formulário 4n + 1, os números ímpares do formulário 4n + 3 não são números quadrados.

Os quadrados de números ímpares são da forma 8n + 1, já que (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 e n(n + 1) é um número par.


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