Número quadrado
Um número quadrado, às vezes também chamado de quadrado perfeito, é o resultado de um número inteiro multiplicado por si mesmo. Os números 1, 4, 9, 16 e 25 são os primeiros cinco números quadrados. Em uma fórmula, o quadrado de um número n é denotado n2 (exponenciação), geralmente pronunciado como "n ao quadrado". O nome número quadrado vem do nome da forma; veja abaixo.
Os números quadrados são não-negativos. Outra forma de dizer que um número (não negativo) é um número quadrado, é que sua raiz quadrada é novamente um número inteiro. Por exemplo, √9 = 3, portanto 9 é um número quadrado.
Exemplos
Os quadrados (seqüência A000290 no OEIS) são menores que 702:
102 =100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600
612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
Existem infinitamente muitos números quadrados, assim como existem infinitamente muitos números naturais.
Imóveis
O número m é um número quadrado se e somente se for possível compor um quadrado de m quadrados iguais (menores):
| m = 12 = 1 |
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| m = 22 = 4 |
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| m = 32 = 9 |
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| m = 42 = 16 |
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| m = 52 = 25 |
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| Nota: Os espaços brancos entre os quadrados servem apenas para melhorar a percepção visual. | |
Um quadrado com comprimento lateral n tem área n2.
A expressão para o número n2 é n2. Isto também é igual à soma dos primeiros números n ímpares como pode ser visto nas figuras acima, onde um quadrado resulta do anterior adicionando um número ímpar de pontos (mostrado em magenta). A fórmula é a seguinte:
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . n^{2}=sum _{k=1}^{n}(2k-1). } 
Assim, por exemplo, 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Um número quadrado pode terminar apenas com os dígitos 0, 1, 4, 6, 9, ou 25 na base 10, como se segue:
- Se o último dígito de um número for 0, seu quadrado termina em um número par de 0s (portanto, pelo menos 00) e os dígitos que precedem o 0s final também devem formar um quadrado.
- Se o último dígito de um número for 1 ou 9, seu quadrado termina em 1 e o número formado por seus dígitos anteriores deve ser divisível por quatro.
- Se o último dígito de um número for 2 ou 8, seu quadrado termina em 4 e o dígito anterior deve ser igual.
- Se o último dígito de um número for 3 ou 7, seu quadrado termina em 9 e o número formado por seus dígitos anteriores deve ser divisível por quatro.
- Se o último dígito de um número for 4 ou 6, seu quadrado termina em 6 e o dígito anterior deve ser ímpar.
- Se o último dígito de um número for 5, seu quadrado termina em 25 e os dígitos anteriores devem ser 0, 2, 06, ou 56.
Um número quadrado não pode ser um número perfeito.
Todas as quatro potências, sexta potência, oitava potência, etc., são quadrados perfeitos.
Casos especiais
- Se o número for da forma m5 onde m representa os dígitos anteriores, seu quadrado é n25 onde n = m × (m + 1) e representa dígitos antes de 25. Por exemplo, o quadrado de 65 pode ser calculado por n = 6 × (6 + 1) = 42, o que torna o quadrado igual a 4225.
- Se o número for da forma m0 onde m representa os dígitos anteriores, seu quadrado é n00 onde n = m2. Por exemplo, o quadrado de 70 é 4900.
- Se o número tem dois dígitos e é da forma 5m onde m representa os dígitos das unidades, seu quadrado é AABB onde AA = 25 + m e BB = m2. Exemplo: Para calcular o quadrado de 57, 25 + 7 = 32 e 72 = 49, o que significa 572 = 3249.
Números ímpares e pares
Os quadrados de números pares são pares (e na verdade divisíveis por 4), já que (2n)2 = 4n2.
Os quadrados de números ímpares são ímpares, já que (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Segue-se que as raízes quadradas de números quadrados pares são pares, e as raízes quadradas de números quadrados ímpares são ímpares.
Como todos os números pares são divisíveis por 4, os números pares do formulário 4n + 2 não são números quadrados.
Como todos os números ímpares quadrados são do formulário 4n + 1, os números ímpares do formulário 4n + 3 não são números quadrados.
Os quadrados de números ímpares são da forma 8n + 1, já que (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 e n(n + 1) é um número par.
