Raiz quadrada de 2

A raiz quadrada de 2, ou o (1/2) poder de 2, escrito em matemática como √2 ou 21⁄2, é o número positivo irracional que, quando multiplicado por si só, é igual ao número 2. Para ser mais correto, é chamado de raiz quadrada principal de 2, para dizer, além da versão negativa de si mesmo, onde isso também é verdade.

Geometricamente a raiz quadrada de 2 é o comprimento de uma diagonal através de um quadrado com lados com um comprimento de um; isto pode ser encontrado com o teorema de Pitágoras.

A raiz quadrada de 2 é igual ao comprimento da hipotenusa de um triângulo direito com pernas de comprimento 1Zoom
A raiz quadrada de 2 é igual ao comprimento da hipotenusa de um triângulo direito com pernas de comprimento 1

Comprovação de que a raiz quadrada de 2 não é racional

O número 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}não é racional. Aqui está a prova.

  1. Assumir que 2 {\sqrt {\sqrt {\sqrt}} {\displaystyle {\sqrt {2}}}é racional. Portanto, há alguns números a , b estilo de exibição a, b {\displaystyle a,b}tal que a / b = 2 estilo de exibição a/b= 2qrt {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}}.
  2. Podemos escolher a e b para que a ou b seja estranho. 
  3. Se ambos os lados da equação forem quadrados, então obtemos a2 / b2 = 2 e a2 = 2 b2.
  4. O lado direito é 2 b 2 {\i1}displaystyle 2b^{\i}} {\displaystyle 2b^{2}}. Este número é uniforme. Portanto, o lado esquerdo também deve ser par. Portanto, um 2 {\\i1}estilo a^{\i}{\displaystyle a^{2}} é par. Se um número ímpar for quadrado, então um número ímpar será o resultado. E se um número par for ao quadrado, um número par também será o resultado. Portanto, um ^{\i1}estilo de exibição a}a é par.
  5. Porque a é uniforme, pode ser escrito como: a = 2 k {\i1} {\displaystyle a=2k}.
  6. A equação da etapa 3 é utilizada. Obtemos 2b2 = (2k)2
  7. Uma regra de exponenciação pode ser usada (ver o artigo) - o resultado é 2 b 2 = 4 k 2 {\a2}=4k^{\a2}} {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}.
  8. Ambos os lados são divididos por 2. Então b 2 = 2 k 2 ^{\i1}=2k^{\i}} {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}. Isto significa que o b {\i1}displaystyle b}{\displaystyle b} é uniforme.
  9. No passo 2, dissemos que a é estranho ou b é estranho. Mas no passo 4, foi dito que a é par, e no passo 7, foi dito que b é par. Se a suposição que fizemos no passo 1 for verdadeira, então todas estas outras coisas têm que ser verdadeiras, mas como elas discordam umas das outras, nem todas podem ser verdade; isso significa que nossa suposição não é verdadeira.

Não é verdade que o 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}é um número racional. Portanto, 2 é um {\displaystyle {\sqrt {2}}}número irracional.


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