Raiz quadrada de 2

Autor: Leandro Alegsa

20-04-2021

A raiz quadrada de 2, ou o (1/2) poder de 2, escrito em matemática como √2 ou 21⁄2, é o número positivo irracional que, quando multiplicado por si só, é igual ao número 2. Para ser mais correto, é chamado de raiz quadrada principal de 2, para dizer, além da versão negativa de si mesmo, onde isso também é verdade.

Geometricamente a raiz quadrada de 2 é o comprimento de uma diagonal através de um quadrado com lados com um comprimento de um; isto pode ser encontrado com o teorema de Pitágoras.

A raiz quadrada de 2 é igual ao comprimento da hipotenusa de um triângulo direito com pernas de comprimento 1

Comprovação de que a raiz quadrada de 2 não é racional

O número 2 ${\sqrt {2}}$ não é racional. Aqui está a prova.

Assumir que 2 {\sqrt {\sqrt {\sqrt}} ${\sqrt {2}}$ é racional. Portanto, há alguns números a , b estilo de exibição a, b $a,b$ tal que a / b = 2 estilo de exibição a/b= 2qrt $a/b={\sqrt {2}}$ .
Podemos escolher a e b para que a ou b seja estranho.
Se ambos os lados da equação forem quadrados, então obtemos a2 / b2 = 2 e a2 = 2 b2.
O lado direito é 2 b 2 {\i1}displaystyle 2b^{\i}} $2b^{2}$ . Este número é uniforme. Portanto, o lado esquerdo também deve ser par. Portanto, um 2 {\\i1}estilo a^{\i} $a^{2}$ é par. Se um número ímpar for quadrado, então um número ímpar será o resultado. E se um número par for ao quadrado, um número par também será o resultado. Portanto, um ^{\i1}estilo de exibição a} é par.
Porque a é uniforme, pode ser escrito como: a = 2 k {\i1} $a=2k$ .
A equação da etapa 3 é utilizada. Obtemos 2b2 = (2k)²
Uma regra de exponenciação pode ser usada (ver o artigo) - o resultado é 2 b 2 = 4 k 2 {\a2}=4k^{\a2}} $2b^{2}=4k^{2}$ .
Ambos os lados são divididos por 2. Então b 2 = 2 k 2 ^{\i1}=2k^{\i}} $b^{2}=2k^{2}$ . Isto significa que o b {\i1}displaystyle b} $b$ é uniforme.
No passo 2, dissemos que a é estranho ou b é estranho. Mas no passo 4, foi dito que a é par, e no passo 7, foi dito que b é par. Se a suposição que fizemos no passo 1 for verdadeira, então todas estas outras coisas têm que ser verdadeiras, mas como elas discordam umas das outras, nem todas podem ser verdade; isso significa que nossa suposição não é verdadeira.

Não é verdade que o 2 ${\sqrt {2}}$ é um número racional. Portanto, 2 é um ${\sqrt {2}}$ número irracional.