O argumento diagonal de Cantor

O argumento diagonal de Cantor é um método matemático para provar que dois conjuntos infinitos têm a mesma cardinalidade. Cantor publicou artigos sobre ele em 1877, 1891 e 1899. Sua primeira prova do argumento da diagonal foi publicada em 1890 na revista da Sociedade Alemã de Matemática (Deutsche Mathematiker-Vereinigung). Segundo Cantor, dois conjuntos têm a mesma cardinalidade, se for possível associar um elemento do segundo conjunto a cada elemento do primeiro conjunto, e associar um elemento do primeiro conjunto a cada elemento do segundo conjunto. Esta afirmação funciona bem para conjuntos com um número finito de elementos. É menos intuitiva para conjuntos com um número infinito de elementos.

O primeiro argumento diagonal de Cantor

O exemplo abaixo usa dois dos conjuntos infinitos mais simples, o dos números naturais, e o das frações positivas. A idéia é mostrar que estes dois conjuntos, ao estilo N $\mathbb {N}$ e Q + estilo de jogo de Q + MAThbb } $\mathbb {Q^{+}}$ têm a mesma cardinalidade.

Primeiro, as frações são alinhadas em uma matriz, como se segue:

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 ⋯ 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 ⋯ 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 ⋯ 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 ⋯ 5 1 5 2 5 3 5 4 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}}displaystyle {\i}begin{\i}{\i}cccccccccccc}{\i}{\i}&&&tfrac {1}{2}&&&tfrac {1}{3}&&&tfrac {1}{4}&&&&tfrac {1}{5}&cdots {1}COPY18{2}{1}&&&tfrac {2}{2}&&fracFrac 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 18, 18, 1&&tfrac {3}&&&tfrac {3}&&&tfrac {3}&&tfrac {4}&&&tfrac {3}{5}&cdots {5}&cdots&&&&&&frac {4}{1}&&&frac {4}{2}&&&frac {4}{3}&&&frac {4}&&frac {4}{4}&&frac {5}}&\pontos 18 de Janeiro de 2008 18 de Fevereiro de 2008 18 de Fevereiro de 20085 de Fevereiro de 2004 e 5 de Fevereiro de 2004 ${\begin{array}{cccccccccc}{\tfrac {1}{1}}&&{\tfrac {1}{2}}&&{\tfrac {1}{3}}&&{\tfrac {1}{4}}&&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {2}{1}}&&{\tfrac {2}{2}}&&{\tfrac {2}{3}}&&{\tfrac {2}{4}}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {3}{1}}&&{\tfrac {3}{2}}&&{\tfrac {3}{3}}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}&&{\tfrac {4}{2}}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}$

A seguir, os números são contados, como mostrado. As frações que podem ser simplificadas são deixadas de fora:

1 1 ( 1 ) → 1 2 ( 2 ) 1 3 ( 5 ) → 1 4 ( 6 ) 1 5 ( 11 ) → ↙ ↙ 2 1 ( 3 ) 2 2 ( ⋅ ) 2 3 ( 7 ) 2 4 ( ⋅ ) 2 5 ⋯ ↓ ↙ 3 1 ( 4 ) 3 2 ( 8 ) 3 3 ( ⋅ ) 3 4 3 5 ⋯ ↙ 4 1 ( 9 ) 4 2 ( ⋅ ) 4 3 4 4 4 5 ⋯ ↓ 5 1 ( 10 ) 5 2 5 3 5 4 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}}(1){\i}(2)cor Azul Noite Certinho e Azul Azul Frac 1Cor Cor Azul Azul Azul Azul Azulcor Azul Nocturno Azul Nocturno Azul Nocturno Azul Nocturno Azul Nocturno Azul Nocturno Azul Nocturno Azul Nocturno Azul Nocturno Azul NocturnoCor Azul Nocturno Azul NocturnoFracrac 2, cor, cor, azul, etc.& &frac Frac 2 &cdots Corcor Azul Nocturno - seta -&& cor Azul Nocturno - seta - anexo - anexo - página 1Frac 3, cor Azul\\cor Azul Azul Azul Azul&&&& &&&& &&&& /frac /5 /1 /color /Blue /10 /frac /5 /2 /frac /5 /3 /4 /frac /5 /4 /5 /5 /5 /frac&&tfrac 5 pontos &&cdots &&vdots &&vdots &&vdots &&vdots &&vdots &&vdots &&vdots &end{array}} ${\begin{array}{lclclclclc}{\tfrac {1}{1}}\ _{\color {Blue}(1)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{2}}\ _{\color {Blue}(2)}&&{\tfrac {1}{3}}\ _{\color {Blue}(5)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{4}}\ _{\color {Blue}(6)}&&{\tfrac {1}{5}}\ _{\color {Blue}(11)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&\\{\tfrac {2}{1}}\ _{\color {Blue}(3)}&&{\tfrac {2}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{3}}\ _{\color {Blue}(7)}&&{\tfrac {2}{4}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&\\{\tfrac {3}{1}}\ _{\color {Blue}(4)}&&{\tfrac {3}{2}}\ _{\color {Blue}(8)}&&{\tfrac {3}{3}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}\ _{\color {Blue}(9)}&&{\tfrac {4}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}\ _{\color {Blue}(10)}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}$

Dessa forma, as frações são contadas:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 1 1 2 2 3 1 3 1 4 2 3 3 2 4 5 1 5 ⋯ {\i1}{\i1}{\i1}displaystyle {\i}{\i1}begin{\i}{\i}{\i}cccccccccccccccccccc}{\i}{\i1}&cor 2 e cor 3 e cor 4 e cor 5...cor 6 e cor 7 e cor 8 e cor 9 e cor 10 e cor 11...cor Pontos azul 3pt de cor Cor AzulCor: azul nocturno - linha descendente...Cor: azul nocturno - linha descendenteCor: azul noturno - linha para baixo e cor: azul noturno - linha para baixo 1 e prática 1 e 2 e 3.

Omitindo as frações que ainda podem ser simplificadas, há uma bijeção que associa cada elemento dos números naturais, a um elemento das frações:

Para mostrar que todos os números naturais e as frações têm a mesma cardinalidade, o elemento 0 precisa ser adicionado; depois de cada fração, seu negativo é adicionado;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 - 1 1 1 2 - 1 2 2 2 - 2 3 - 3 1 3 - 1 3 1 4 - 1 4 2 3 - 2 3 ⋯ {\i1}{\i1}displaystyle {\i}{\i1}begin{\i}{\i}{\i}cccccccccccccccccc}{\i}{\i}{\i1}colorcor 2& cor 3& cor 4& cor 4& cor 5& cor 6& cor 7cor 8, cor 9, cor 10, cor 11, cor 12, cor 13, cor 14, cor 15, cor 15, cor 15, cor 15, cor 15, cor 15, cor 15, corcor Pontos azul 3pt de cor Cor AzulCor: azul noturno - linha para baixo e cor: azul noturno - linha para baixo e cor: azul noturno - linha para baixo e cor: azul noturno - linha para baixo e cor: azul noturno - linha para baixo e cor: azul noturno - linha para baixoCor: azul noturno - linha para baixo e cor: azul noturno - linha para baixo e cor: azul noturno - linha para baixo e cor: azul noturno - linha para baixo e cor: azul noturno - linha para baixo e cor: azul noturno - linha para baixo e cor: azul noturno - linha para baixoCor: azul noturno - linha inferior - e cor: azul noturno - linha inferior - e cor: azul noturno - linha inferior - e cor: azul noturno - linha inferior - [3pt]0&1&-1&frac 12&-2&3&-3&-frrac {1}{3}&-frrac {1}{3}&-frrac {1}{4}&-frrac {1}{4}&-frrac {1}&-frrac {2}{3}&-frrac {2}{3}&-frrac {2}{3}&cdots end{array}}} ${\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]0&1&-1&{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&\cdots \\\end{array}}$

Dessa forma, há uma bijecção completa, que associa uma fração a cada número natural. Em outras palavras: ambos os conjuntos têm a mesma cardinalidade. Hoje, os conjuntos que têm o mesmo número de elementos que o conjunto de números naturais são chamados de contáveis. Os conjuntos que têm menos elementos que os números naturais são chamados de contáveis no máximo. Com essa definição, o conjunto de números / frações racionais é contável.

Os conjuntos infinitos têm muitas vezes propriedades que vão contra a intuição: David Hilbert mostrou isso em uma experiência que é chamada de paradoxo de Hilbert no Grand Hotel.

Números reais

O conjunto de números reais não tem a mesma cardinalidade que os números naturais; há mais números reais do que números naturais. A idéia delineada acima influenciou sua prova. Em seu artigo de 1891, Cantor considerou o conjunto T de todas as seqüências infinitas de dígitos binários (ou seja, cada dígito é zero ou um).

Ele começa com uma prova construtiva do teorema a seguir:

Se s1, s2, ... , _sn, ... é qualquer enumeração de elementos de T, então sempre há um elemento s de T que corresponde a nenhum _sn na enumeração.

Para provar isto, dada uma enumeração de elementos de T, como por exemplo

s1 =	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s2 =	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s3 =	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s4 =	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s5 =	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s6 =	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s7 =	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

A seqüência s é construída escolhendo o 1º dígito como complementar ao 1º dígito de s1 (trocando 0s por 1s e vice-versa), o 2º dígito como complementar ao 2º dígito de s2, o 3º dígito como complementar ao 3º dígito de s3, e geralmente para cada n, o nº dígito como complementar ao nº dígito de _sn. No exemplo, isto rende:

s1	=	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s2	=	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s3	=	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s4	=	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s5	=	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s6	=	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s7	=	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

s	=	(1,	0,	1,	1,	1,	0,	1,	...)

Por construção, s difere de cada _sn, já que seus n-ésimo dígitos são diferentes (destacados no exemplo). Portanto, s não pode ocorrer na enumeração.

Com base neste teorema, Cantor então usa uma prova por contradição para mostrar isso:

O conjunto T é incontável.

Ele assume, por contradição, que T era contabilizável. Nesse caso, todos os seus elementos poderiam ser escritos como uma enumeração s1, s2, ... , _sn, ... . A aplicação do teorema anterior a esta enumeração produziria uma seqüência s não pertencente à enumeração. Entretanto, s era um elemento de T e, portanto, deveria constar da enumeração. Isto contradiz a suposição original, portanto, T deve ser incontável.

Perguntas e Respostas

P: O que é o argumento da diagonal de Cantor?

R: O argumento diagonal de Cantor é um método matemático para provar que dois conjuntos infinitos têm a mesma cardinalidade.

P: Quando Cantor publicou artigos sobre seu argumento diagonal?

R: Cantor publicou artigos sobre seu argumento diagonal em 1877, 1891 e 1899.

P: Onde foi publicada a primeira prova do argumento diagonal de Cantor?

R: A primeira prova do argumento diagonal de Cantor foi publicada em 1890 no periódico da Sociedade Alemã de Matemática (Deutsche Mathematiker-Vereinigung).

P: De acordo com Cantor, quando dois conjuntos têm a mesma cardinalidade?

R: De acordo com Cantor, dois conjuntos têm a mesma cardinalidade se for possível associar um elemento do segundo conjunto a cada elemento do primeiro conjunto e associar um elemento do primeiro conjunto a cada elemento do segundo conjunto.

P: A afirmação de Cantor sobre cardinalidade funciona bem para conjuntos com um número finito de elementos?

R: Sim, a afirmação de Cantor funciona bem para conjuntos com um número finito de elementos.

P: A afirmação de Cantor sobre cardinalidade é intuitiva para conjuntos com um número infinito de elementos?

R: Não, a afirmação de Cantor sobre cardinalidade é menos intuitiva para conjuntos com um número infinito de elementos.

P: Quantas vezes Cantor publicou artigos sobre seu argumento diagonal?

R: Cantor publicou artigos sobre seu argumento diagonal três vezes - em 1877, 1891 e 1899.