Função bijectiva

Em matemática, uma função ou bijeção é uma função f : A → B que é tanto uma injeção quanto uma surjeção. Isto significa: para cada elemento b no codomínio B há exatamente um elemento a no domínio A tal que f(a)=b. Outro nome para bijecção é 1-1 correspondência.

O termo bijection e os termos relacionados surjection e injection foram introduzidos por Nicholas Bourbaki. Na década de 1930, ele e um grupo de outros matemáticos publicaram uma série de livros sobre matemática moderna avançada.

Propriedades básicas

Formalmente:

f : A → B {\i1}displaystyle f:Arightarrow B} $f:A\rightarrow B$ ∀ b ∈ B {\i1}displaystyle b em todos os B} $\forall b\in B$ há um único a ∈ A {\i1}displaystyle a em A}tal que $a\in A$ f ( a ) = b . estilo de jogo f(a)=b,. } $f(a)=b\,.$

O elemento b $b$ é chamado de imagem do elemento a...

A definição formal significa: Cada elemento do codomínio B é a imagem de exatamente um elemento no domínio A.

O elemento a {\i1}estiloa {\i} é chamado de pré-imagem do elemento b {\i1}estilo b{\i} $b$ .

A definição formal significa: Cada elemento do codomínio B tem exatamente uma pré-imagem no domínio A.

Nota: Surjecção significa no mínimo uma pré-imagem. Injeção significa, no máximo, uma pré-imagem. Portanto, bijeção significa exatamente uma pré-imagem.

Cardinalidade

A cardinalidade é o número de elementos de um conjunto. A cardinalidade de A={X,Y,Z,W} é 4. Escrevemos #A=4.

Definição: Dois conjuntos A e B têm a mesma cardinalidade se houver uma bijecção entre os conjuntos. Então #A=#B significa que há uma bijeção de A para B.

Bijecções e funções inversas

As bijecções são invertíveis ao inverter as setas. A nova função é chamada de função inversa.

Formalmente: Let f : A → B be a bijection. A função inversa g : B → A é definida por se f(a)=b, então g(b)=a. (Veja também Função inversa).

A função inversa da função inversa é a função original.
Uma função tem uma função inversa se e somente se for uma bijeção.

Nota: A notação para a função inversa de f é confusa. Nomeadamente,

f - 1 ( x ) f^{-1}(x)} $f^{-1}(x)$ função f, mas x - 1 = 1 x ^{-1}={\frac ^{1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$ denota o valor recíproco do número x.

Exemplos

Funções elementares

Que f(x):ℝ→ℝ seja uma função real valorizada y=f(x) de um argumento real valorizado x. (Isto significa que tanto a entrada como a saída são números).

Significado gráfico: A função f é uma bijecção se cada linha horizontal intersecta o gráfico de f em exatamente um ponto.
Significado algébrico: A função f é uma bijecção se para cada número real yo podemos encontrar pelo menos um número real xo tal que yo=f(xo) e se f(xo)=f(x1) significa xo=x1 .

Provar que uma função é uma bijeção significa provar que é tanto uma surjeção quanto uma injeção. Portanto, as provas formais raramente são fáceis. Abaixo discutimos e não provamos. (Veja surjeção e injeção).

Exemplo: A função linear de uma linha inclinada é uma bijuteria. Ou seja, y=ax+b onde a≠0 é uma bijeção.

Discussão: Cada linha horizontal intersecta uma linha inclinada em exatamente um ponto (ver sobreposição e injeção para provas). Imagem 1.

Exemplo: A função polinomial de terceiro grau: f(x)=x3 é uma bijecção. Imagem 2 e imagem 5 curva fina amarela. Seu inverso é a função da raiz cúbica f(x)= ∛x e também é uma bijeção f(x):ℝ→ℝ. Imagem 5: curva verde espessa.

Exemplo: A função quadrática f(x) = x2 não é uma bijuteria (de ℝ→ℝ). Imagem 3. Não é uma sobreposição. Não é uma injeção. Entretanto, podemos restringir tanto seu domínio quanto seu codomínio ao conjunto de números não negativos (0,+∞) para obter uma bijeção (invertível) (ver exemplos abaixo).

Nota: Este último exemplo mostra isto. Para determinar se uma função é uma bijuteria, precisamos saber três coisas:

o domínio
a máquina de função
o codomínio

Exemplo: Suponha que nossa máquina funcional seja f(x)=x².

Esta máquina e domínio=ℝ e codomínio=ℝ não é uma sobreposição e não uma injeção. No entanto,
esta mesma máquina e domínio=[0,+∞) e codomínio=[0,+∞) é tanto uma sobreposição como uma injeção e, portanto, uma bijeção.

Bijecções e seus inversos

Let f(x):A→B onde A e B são subconjuntos de ℝ.

Suponha que f não seja uma bijuteria. Para qualquer x onde a derivada de f existe e não é zero, há um bairro de x onde podemos restringir o domínio e codomínio de f para ser uma bissecção.
Os gráficos das funções inversas são simétricos em relação à linha y=x. (Veja também Função inversa).

Exemplo: A função quadrática definida no domínio restrito e no codomínio [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) f(x): [0,+], [0,+], [0,+], [0,+], definido por $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ f ( x ) = x 2 f(x)=x^{2}}. $f(x)=x^{2}$

é uma bijuteria. Imagem 6: curva fina amarela.

Exemplo: A função raiz quadrada definida no domínio restrito e codomínio [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) f(x): [0,+], [0,+], [0,+], [0,+], definido por $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ f ( x ) = x f(x)= (x)= (x) $f(x)={\sqrt {x}}$

é a bijecção definida como a função inversa da função quadrática: x2. Imagem 6: curva verde espessa.

Exemplo: A função exponencial definida no domínio ℝ e o codomínio restrito (0,+∞)

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) f(x):|mathbf {R},{\i1},,{\i1}rightarrow {\i},{\i},(0,+\i}infty )} definido por $f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )$ f ( x ) = a x , a > 1 f(x)=a^{x},,^,{\i},a>1} $f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1$

é uma bijuteria. Imagem 4: curva amarela fina (a=10).

Exemplo: A função logarítmica baseia-se no domínio restrito (0,+∞) e no codomínio ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\i1}displaystyle f(x):(0,+):(0,+),,{\i}rightarrow {\i},,{\i}mathbf {R} definido por $f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R}$ f ( x ) = log a x , a > 1 {\i1}displaystyle f(x)=log _{a}x,,{,},a>1} $f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1$

é a bijecção definida como a função inversa da função exponencial: ^eixo. Imagem 4: curva verde espessa (a=10).

Bijecção: cada linha vertical (no domínio) e cada linha horizontal (no codomínio) intercepta exatamente um ponto do gráfico.

1. Bijecções. Todas as linhas inclinadas são bijecções f(x):ℝ→ℝ.

2. Bijection. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.

3. Não é uma bijeção. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² não é uma surjeção. Não é uma injeção.

4. Bijecções. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (amarelo fino) e seu inverso f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (verde grosso).

5. Bijecções. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (amarelo fino) e seu inverso f(x)=∛x (verde grosso).

6. Bijecções. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (amarelo fino) e seu inverso f(x)=√x (verde grosso).

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Perguntas e Respostas

P: O que é uma função bijetiva?

R: Uma função bijetiva, também conhecida como bijeção, é uma função matemática que é tanto uma injeção quanto uma sobrejeção.

P: O que significa para uma função ser uma injeção?

R: Uma injeção significa que, para quaisquer dois elementos a e a' no domínio A, se f(a)=f(a'), então a=a'.

P: O que significa para uma função ser uma sobrejeção?

R: Uma sobrejeção significa que, para todo elemento b no codomínio B, há pelo menos um elemento a no domínio A, de modo que f(a)=b.

P: Qual é a declaração equivalente para uma bijeção?

R: A afirmação equivalente para uma bijeção é que, para todo elemento b no codomínio B, há exatamente um elemento a no domínio A de modo que f(a)=b.

P: Qual é outro nome para bijeção?

R: Bijeção também é conhecida como "correspondência 1-1" ou "correspondência um-para-um".

P: Quem introduziu os termos bijeção, sobrejeção e injeção?

R: Os termos bijeção, sobrejeção e injeção foram introduzidos por Nicolas Bourbaki e um grupo de outros matemáticos na década de 1930.

P: O que Bourbaki e outros matemáticos publicaram na década de 1930?

R: Bourbaki e outros matemáticos publicaram uma série de livros sobre matemática avançada moderna.