Em matemática, uma função ou bijeção é uma função f : A → B que é tanto uma injeção quanto uma surjeção. Isto significa: para cada elemento b no codomínio B há exatamente um elemento a no domínio A tal que f(a)=b. Outro nome para bijecção é 1-1 correspondência.
O termo bijection e os termos relacionados surjection e injection foram introduzidos por Nicholas Bourbaki. Na década de 1930, ele e um grupo de outros matemáticos publicaram uma série de livros sobre matemática moderna avançada.
Formalmente:
f : A → B {\i1}displaystyle f:Arightarrow B}
∀ b ∈ B {\i1}displaystyle b em todos os B} 
há um único a ∈ A {\i1}displaystyle a em A}tal que
f ( a ) = b . estilo de jogo f(a)=b,. } 
O elemento b 
é chamado de imagem do elemento a..
.
O elemento a {\i1}estiloa {\i} é chamado de pré-imagem do elemento b {\i1}estilo b{\i} .
Nota: Surjecção significa no mínimo uma pré-imagem. Injeção significa, no máximo, uma pré-imagem. Portanto, bijeção significa exatamente uma pré-imagem.
A cardinalidade é o número de elementos de um conjunto. A cardinalidade de A={X,Y,Z,W} é 4. Escrevemos #A=4.
Formalmente: Let f : A → B be a bijection. A função inversa g : B → A é definida por se f(a)=b, então g(b)=a. (Veja também Função inversa).
Nota: A notação para a função inversa de f é confusa. Nomeadamente,
f - 1 ( x ) f^{-1}(x)}
função f, mas x - 1 = 1 x ^{-1}={\frac ^{1}{x}}}
denota o valor recíproco do número x.
Que f(x):ℝ→ℝ seja uma função real valorizada y=f(x) de um argumento real valorizado x. (Isto significa que tanto a entrada como a saída são números).
Provar que uma função é uma bijeção significa provar que é tanto uma surjeção quanto uma injeção. Portanto, as provas formais raramente são fáceis. Abaixo discutimos e não provamos. (Veja surjeção e injeção).
Exemplo: A função linear de uma linha inclinada é uma bijuteria. Ou seja, y=ax+b onde a≠0 é uma bijeção.
Discussão: Cada linha horizontal intersecta uma linha inclinada em exatamente um ponto (ver sobreposição e injeção para provas). Imagem 1.
Exemplo: A função polinomial de terceiro grau: f(x)=x3 é uma bijecção. Imagem 2 e imagem 5 curva fina amarela. Seu inverso é a função da raiz cúbica f(x)= ∛x e também é uma bijeção f(x):ℝ→ℝ. Imagem 5: curva verde espessa.
Exemplo: A função quadrática f(x) = x2 não é uma bijuteria (de ℝ→ℝ). Imagem 3. Não é uma sobreposição. Não é uma injeção. Entretanto, podemos restringir tanto seu domínio quanto seu codomínio ao conjunto de números não negativos (0,+∞) para obter uma bijeção (invertível) (ver exemplos abaixo).
Nota: Este último exemplo mostra isto. Para determinar se uma função é uma bijuteria, precisamos saber três coisas:
Exemplo: Suponha que nossa máquina funcional seja f(x)=x².
Let f(x):A→B onde A e B são subconjuntos de ℝ.
Exemplo: A função quadrática definida no domínio restrito e no codomínio [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) f(x): [0,+], [0,+], [0,+], [0,+], definido por
f ( x ) = x 2 f(x)=x^{2}}. 
é uma bijuteria. Imagem 6: curva fina amarela.
Exemplo: A função raiz quadrada definida no domínio restrito e codomínio [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) f(x): [0,+], [0,+], [0,+], [0,+], definido porf ( x ) = x f(x)= (x)= (x) 
é a bijecção definida como a função inversa da função quadrática: x2. Imagem 6: curva verde espessa.
Exemplo: A função exponencial definida no domínio ℝ e o codomínio restrito (0,+∞)
f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) f(x):|mathbf {R},{\i1},,{\i1}rightarrow {\i},{\i},(0,+\i}infty )} definido por
f ( x ) = a x , a > 1 f(x)=a^{x},,^,{\i},a>1} 
é uma bijuteria. Imagem 4: curva amarela fina (a=10).
Exemplo: A função logarítmica baseia-se no domínio restrito (0,+∞) e no codomínio ℝ
f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\i1}displaystyle f(x):(0,+):(0,+),,{\i}rightarrow {\i},,{\i}mathbf {R} definido por
f ( x ) = log a x , a > 1 {\i1}displaystyle f(x)=log _{a}x,,{,},a>1} 
é a bijecção definida como a função inversa da função exponencial: eixo. Imagem 4: curva verde espessa (a=10).
| Bijecção: cada linha vertical (no domínio) e cada linha horizontal (no codomínio) intercepta exatamente um ponto do gráfico. | ||
|
1. Bijecções. Todas as linhas inclinadas são bijecções f(x):ℝ→ℝ. |
2. Bijection. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³. |
3. Não é uma bijeção. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² não é uma surjeção. Não é uma injeção. |
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4. Bijecções. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (amarelo fino) e seu inverso f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (verde grosso). |
5. Bijecções. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (amarelo fino) e seu inverso f(x)=∛x (verde grosso). |
6. Bijecções. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (amarelo fino) e seu inverso f(x)=√x (verde grosso). |
R: Uma função bijetiva, também conhecida como bijeção, é uma função matemática que é tanto uma injeção quanto uma sobrejeção.
R: Uma injeção significa que, para quaisquer dois elementos a e a' no domínio A, se f(a)=f(a'), então a=a'.
R: Uma sobrejeção significa que, para todo elemento b no codomínio B, há pelo menos um elemento a no domínio A, de modo que f(a)=b.
R: A afirmação equivalente para uma bijeção é que, para todo elemento b no codomínio B, há exatamente um elemento a no domínio A de modo que f(a)=b.
R: Bijeção também é conhecida como "correspondência 1-1" ou "correspondência um-para-um".
R: Os termos bijeção, sobrejeção e injeção foram introduzidos por Nicolas Bourbaki e um grupo de outros matemáticos na década de 1930.
R: Bourbaki e outros matemáticos publicaram uma série de livros sobre matemática avançada moderna.
