Função injetiva

Em matemática, uma função injetável é uma função f : A → B com a seguinte propriedade. Para cada elemento b no codomínio B há no máximo um elemento a no domínio A tal que f(a)=b.

O termo injeção e os termos correlatos surjection e bijection foram introduzidos por Nicholas Bourbaki. Na década de 1930, ele e um grupo de outros matemáticos publicaram uma série de livros sobre matemática moderna avançada.

Uma função injetável é freqüentemente chamada de função 1-1. Entretanto, uma correspondência 1-1 é uma função bijectiva (tanto injectiva quanto superjetiva). Isto é confuso, portanto, tenha cuidado.

Propriedades básicas

Formalmente:

f : A → B {\i1}displaystyle f:A{\i1}rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ é uma função injetiva se ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\i1}displaystyle {\i}forall a_{\i},\a_2,a_2,a_2,a_1,a_1,a_2,a_2,a_2,a_2,f(a_1),f(a_1),f(a_2),f(a_2),f(a_2) $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})$ ou equivalente

f : A → B {\i1}displaystyle f:A seta de direita B $f:A\rightarrow B$ é uma função injetável se ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\i1}para todos a_{1},{2},a_2},in A,{1},{2},f(a_{1})=f(a_{2}){,{2},{1},a_Seta direita $\forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}$

O elemento a {\i1}estilo a} é chamado de pré-imagem do elemento b {\i1} se $b$ f ( a ) = b {\i1}estilo f(a)=b} $f(a)=b$ cada elemento b em B.

Cardinalidade

A cardinalidade é o número de elementos de um conjunto. A cardinalidade de A={X,Y,Z,W} é 4. Escrevemos #A=4.

Se a cardinalidade do codomínio for menor que a cardinalidade do domínio, a função não pode ser uma injeção. (Por exemplo, não há como mapear 6 elementos a 5 elementos sem uma duplicata).

Exemplos

Funções elementares

Que f(x):ℝ→ℝ seja uma função real valorizada y=f(x) de um argumento real valorizado x. (Isto significa que tanto a entrada como a saída são números reais).

Significado gráfico: A função f é uma injeção se cada linha horizontal intersecta o gráfico de f em, no máximo, um ponto.
Significado algébrico: A função f é uma injeção se f(xo)=f(x1) significa xo=x1.

Exemplo: A função linear de uma linha inclinada é 1-1. Ou seja, y=ax+b onde a≠0 é uma injeção. (É também uma surjeção e, portanto, uma bijeção).

Comprovação: Que xo e x1 sejam números reais. Suponha que a linha mapeia esses dois valores x para o mesmo valor y. Isto significa a-xo+b=a-x1+b. Subtraia b de ambos os lados. Recebemos a-xo=a-x1. Agora divida ambos os lados por a (lembre-se a≠0). Obtemos xo=x1. Assim, provamos a definição formal e a função y=ax+b onde a≠0 é uma injeção.

Exemplo: A função polinomial de terceiro grau: f(x)=x3 é uma injeção. Entretanto, a função polinomial de terceiro grau: f(x)=x3 -3x não é uma injeção.

Discussão 1: Qualquer linha horizontal intercepta o gráfico de

f(x)=x3 exatamente uma vez. (Também é uma surjecção).

Discussão 2. Qualquer linha horizontal entre y=-2 e y=2 intercepta o gráfico em três pontos, de modo que esta função não é uma injeção. (No entanto, é uma sobreposição).

Exemplo: A função quadrática f(x) = x2 não é uma injeção.

Discussão: Qualquer linha horizontal y=c onde c>0 intercepta o gráfico em dois pontos. Portanto, esta função não é uma injeção. (Além disso, não é uma sobreposição).

Nota: Pode-se transformar uma função não-injetiva em uma função injetável, eliminando parte do domínio. Chamamos isso de restringir o domínio. Por exemplo, restringir o domínio de f(x)=x² a números não-negativos (números positivos e zero). Defina

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\i1}(x):[0,+\i} { 0,+\i}mathbf {R} onde $f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R}$ f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\i1}(x)=x^{2}} $f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}$

Esta função é agora uma injeção. (Veja também a restrição de uma função).

Exemplo: A função exponencial f(x) = 10x é uma injeção. (No entanto, não é uma surjeção).

Discussão: Qualquer linha horizontal intercepta o gráfico em no máximo um ponto. As linhas horizontais y=c onde c>0 a corta em exatamente um ponto. As linhas horizontais y=c, onde c≤0 não corta o gráfico em nenhum ponto.

Nota: O fato de que uma função exponencial é injetável pode ser usada nos cálculos.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 ^{x_{0}}=a^{x_{1}},^,{x_{1}{1}Retro direito ^,^,x_{0}=x_{1},^,a>0} $a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0$

Exemplo: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\i1}displaystyle 100=10^{x-3},{\i},{\i1}Rightarrow {\i},2=x-3\i},{\i}Rightarrow {\i},{\i},x=5 $100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5$

Injeção: nenhuma linha horizontal intercepta mais de um ponto do gráfico

Injeção. f(x):ℝ→ℝ (e surjection)

Não é uma injeção. f(x):ℝ→ℝ (é surjection)

Não é uma injeção. f(x):ℝ→ℝ (não sobreposição)

Injeção. f(x):ℝ→ℝ (não surjection)

Injeção. f(x):(0,+∞)→ℝ (e surjection)

Outros exemplos

Exemplo: A função logarítmica base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definida por f(x)=log(x) ou y=log10(x) é uma injeção (e uma sobrejeção). (Esta é a função inversa de 10x).

Exemplo: A função f:ℕ→ℕ que mapeia cada número natural n a 2n é uma injeção. Cada número par tem exatamente uma pré-imagem. Cada número ímpar não tem uma pré-imagem.

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Perguntas e Respostas

P: O que é uma função injetora em matemática?

R: Uma função injetiva é uma função f: A → B com a propriedade de que elementos distintos no domínio mapeiam para elementos distintos no codomínio.

P: Qual é a relação entre os elementos no domínio e no codomínio de uma função injetiva?

R: Para todo elemento b no codomínio B, há no máximo um elemento a no domínio A, de modo que f(a)=b.

P: Quem introduziu os termos injeção, sobrejeção e bijeção?

R: Nicholas Bourbaki e um grupo de outros matemáticos introduziram os termos injeção, sobrejeção e bijeção.

P: O que significa uma função injetora?

R: Uma função injetora significa que cada elemento no domínio A mapeia para um único elemento no codomínio B.

P: Qual é a diferença entre uma função injetora e uma correspondência 1-1?

R: Uma função injetiva é geralmente chamada de função 1-1 (um para um), mas é diferente de uma correspondência 1-1, que é uma função bijetiva (tanto injetiva quanto surjetiva).

P: Qual é a propriedade de uma função injetiva?

R: A propriedade de uma função injetiva é que elementos distintos no domínio são mapeados para elementos distintos no codomínio.

P: Qual é a importância das funções injetivas na matemática?

R: As funções injetivas desempenham um papel importante em muitos campos da matemática, incluindo topologia, análise e álgebra, devido à sua propriedade de ter elementos distintos no domínio mapeados para elementos distintos no codomínio.