Funções elementares
Que f(x):ℝ→ℝ seja uma função real valorizada y=f(x) de um argumento real valorizado x. (Isto significa que tanto a entrada como a saída são números reais).
- Significado gráfico: A função f é uma injeção se cada linha horizontal intersecta o gráfico de f em, no máximo, um ponto.
- Significado algébrico: A função f é uma injeção se f(xo)=f(x1) significa xo=x1.
Exemplo: A função linear de uma linha inclinada é 1-1. Ou seja, y=ax+b onde a≠0 é uma injeção. (É também uma surjeção e, portanto, uma bijeção).
Comprovação: Que xo e x1 sejam números reais. Suponha que a linha mapeia esses dois valores x para o mesmo valor y. Isto significa a-xo+b=a-x1+b. Subtraia b de ambos os lados. Recebemos a-xo=a-x1. Agora divida ambos os lados por a (lembre-se a≠0). Obtemos xo=x1. Assim, provamos a definição formal e a função y=ax+b onde a≠0 é uma injeção.
Exemplo: A função polinomial de terceiro grau: f(x)=x3 é uma injeção. Entretanto, a função polinomial de terceiro grau: f(x)=x3 -3x não é uma injeção.
Discussão 1: Qualquer linha horizontal intercepta o gráfico de
f(x)=x3 exatamente uma vez. (Também é uma surjecção).
Discussão 2. Qualquer linha horizontal entre y=-2 e y=2 intercepta o gráfico em três pontos, de modo que esta função não é uma injeção. (No entanto, é uma sobreposição).
Exemplo: A função quadrática f(x) = x2 não é uma injeção.
Discussão: Qualquer linha horizontal y=c onde c>0 intercepta o gráfico em dois pontos. Portanto, esta função não é uma injeção. (Além disso, não é uma sobreposição).
Nota: Pode-se transformar uma função não-injetiva em uma função injetável, eliminando parte do domínio. Chamamos isso de restringir o domínio. Por exemplo, restringir o domínio de f(x)=x² a números não-negativos (números positivos e zero). Defina
f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\i1}(x):[0,+\i} { 0,+\i}mathbf {R} onde
f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\i1}(x)=x^{2}} 
Esta função é agora uma injeção. (Veja também a restrição de uma função).
Exemplo: A função exponencial f(x) = 10x é uma injeção. (No entanto, não é uma surjeção).
Discussão: Qualquer linha horizontal intercepta o gráfico em no máximo um ponto. As linhas horizontais y=c onde c>0 a corta em exatamente um ponto. As linhas horizontais y=c, onde c≤0 não corta o gráfico em nenhum ponto.
Nota: O fato de que uma função exponencial é injetável pode ser usada nos cálculos.
a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 ^{x_{0}}=a^{x_{1}},^,{x_{1}{1}Retro direito ^,^,x_{0}=x_{1},^,a>0} 
Exemplo: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\i1}displaystyle 100=10^{x-3},{\i},{\i1}Rightarrow {\i},2=x-3\i},{\i}Rightarrow {\i},{\i},x=5 
| Injeção: nenhuma linha horizontal intercepta mais de um ponto do gráfico |
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Injeção. f(x):ℝ→ℝ (e surjection) | 
Injeção. f(x):ℝ→ℝ (e surjection) | 
Não é uma injeção. f(x):ℝ→ℝ (é surjection) |
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Não é uma injeção. f(x):ℝ→ℝ (não sobreposição) | 
Injeção. f(x):ℝ→ℝ (não surjection) | 
Injeção. f(x):(0,+∞)→ℝ (e surjection) |
Outros exemplos
Exemplo: A função logarítmica base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definida por f(x)=log(x) ou y=log10(x) é uma injeção (e uma sobrejeção). (Esta é a função inversa de 10x).
Exemplo: A função f:ℕ→ℕ que mapeia cada número natural n a 2n é uma injeção. Cada número par tem exatamente uma pré-imagem. Cada número ímpar não tem uma pré-imagem.
