Funções elementares
Que f(x):ℝ→ℝ seja uma função real valorizada y=f(x) de um argumento real valorizado x. (Isto significa que tanto a entrada quanto a saída são números).
- Significado gráfico: A função f é uma sobreposição se cada linha horizontal intersecta o gráfico de f em pelo menos um ponto.
- Significado analítico: A função f é uma sobreposição se para cada número real yo podemos encontrar pelo menos um número real xo tal que yo=f(xo).
Encontrar um xo pré-imagem para um determinado yo é equivalente a qualquer uma das perguntas:
- A equação f(x)-yo=0 tem uma solução? ou
- A função f(x)-yo tem uma raiz?
Em matemática, podemos encontrar raízes exatas (analíticas) apenas de polinômios de primeiro, segundo (e terceiro) grau. Encontramos raízes de todas as outras funções aproximadamente (numericamente). Isto significa que uma prova formal de superjetividade raramente é direta. Portanto, as discussões abaixo são informais.
Exemplo: A função linear de uma linha inclinada está em cima. Ou seja, y=ax+b onde a≠0 é uma sobreposição. (Também é uma injeção e, portanto, uma bijeção).
Comprovação: Substituir yo na função e resolver por x. Desde a≠0 obtemos x= (yo-b)/a. Isto significa que xo=(yo-b)/a é uma pré-imagem de yo. Isto prova que a função y=ax+b onde a≠0 é uma sobreposição. (Como há exatamente uma pré-imagem, esta função também é uma injeção).
Exemplo prático: y= -2x+4. Qual é a pré-imagem de y=2? A solução: Aqui a= -2, ou seja, a≠0 e a pergunta é: Para que x é y=2? Nós substituímos y=2 na função. Recebemos x=1, ou seja, y(1)=2. Então a resposta é: x=1 é a pré-imagem de y=2.
Exemplo: O polinômio cúbico (de terceiro grau) f(x)=x3-3x é uma sobreposição.
Discussão: A equação cúbica x3-3x-yo=0 tem coeficientes reais (a3=1, a2=0, a1=-3, a0=-yo). Todas essas equações cúbicas têm pelo menos uma raiz real. Como o domínio do polinômio é ℝ, isso significa que há pelo menos um xo pré-imagem no domínio. Isto é, (x0)3-3x0-yo=0. Portanto, a função é uma sobreposição. (No entanto, esta função não é uma injeção. Por exemplo, yo=2 tem 2 pré-imagens: x=-1 e x=2. Na verdade, cada y, -2≤y≤2 tem pelo menos 2 pré-imagens).
Exemplo: A função quadrática f(x) = x2 não é uma sobreposição. Não há x tal que x2 = -1. O intervalo de x² é [0,+∞), ou seja, o conjunto de números não negativos. (Além disso, esta função não é uma injeção).
Nota: Pode-se transformar uma função não-surjetiva em uma surjeção, restringindo seu codomínio a elementos de sua gama. Por exemplo, a nova função, fN(x):ℝ → [0,+∞) onde fN(x) = x2 é uma função supersuperjetiva. (Isto não é o mesmo que a restrição de uma função que restringe o domínio!)
Exemplo: A função exponencial f(x) = 10x não é uma sobreposição. O intervalo de 10x é (0,+∞), ou seja, o conjunto de números positivos. (Esta função é uma injeção).
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Sobreposição. f(x):ℝ→ℝ (e injeção) | 
Surjection. f(x):ℝ→ℝ (não uma injeção) | 
Não uma surjeção. f(x):ℝ→ℝ (nem uma injeção) |
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Não é uma surjeção. f(x):ℝ→ℝ (mas é uma injeção) | 
Surjeção. f(x):(0,+∞)→ℝ (e injeção) | 
Surjection. z:ℝ²→ℝ, z=y. (A figura mostra que a pré-imagem de z=2 é a linha y=2). |
Outros exemplos com funções de valor real
Exemplo: A função logarítmica base 10 f(x):(0,+∞)→ℝ definida por f(x)=log(x) ou y=log10(x) é uma surjecção (e uma injeção). (Esta é a função inversa de 10x).
- A projeção de um produto cartesiano A × B sobre um de seus fatores é uma sobreposição.
Exemplo: A função f((x,y)):ℝ²→ℝ definida por z=y é uma sobreposição. Seu gráfico é um plano em espaço tridimensional. A pré-imagem de zo é a linha y=zo no plano x0y.
- Em jogos 3D, o espaço tridimensional é projetado em uma tela bidimensional com uma sobreposição.
