Politópo convexo regular 4-politópo
Em matemática, um politópo convexo regular 4-politópo (ou polícoron) é um politópo 4-dimensional (4D) que é tanto regular quanto convexo. Estes são os análogos tetradimensionais dos sólidos platônicos (em três dimensões) e os polígonos regulares (em duas dimensões).
Estes poliótopos foram descritos pela primeira vez pelo matemático suíço Ludwig Schläfli em meados do século XIX. Schläfli descobriu que existem precisamente seis figuras assim. Cinco deles podem ser considerados como análogos de dimensões mais elevadas dos sólidos platônicos. Há uma figura adicional (as 24 células) que não tem equivalente tridimensional.
Cada convexo regular de 4-pólitos é delimitado por um conjunto de células tridimensionais que são todos sólidos platônicos do mesmo tipo e tamanho. Estes são encaixados ao longo de suas respectivas faces de forma regular.
Imóveis
As tabelas a seguir listam algumas propriedades dos seis polícoras convexas regulares. Os grupos de simetria destes polícoras são todos grupos Coxeter e dados na notação descrita naquele artigo. O número que segue o nome do grupo é a ordem do grupo.
| Nomes | Família | Schläfli | Vértices | Bordas | Faces | Células | Números de vértices | Politopo duplo | Grupo de simetria | |
| Pentachoron5-cellpentatopehyperpyramidhypertetrahedron4-simplex | simplex | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 | 5tetrahedra | tetrahedra | (auto-dual) | A4 | 120 |
| Tesseractoctachoron8-celhypercube4-cube | hipercubo | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 | 8 | tetrahedra | 16-células | B4 | 384 |
| Hexadecacachoron16-cellorthoplexhyperoctahedron4-orthoplex | polipropilotípico | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 | 16tetrahedra | octahedra | tesseract | B4 | 384 |
| Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 | 24octahedra | (auto-dual) | F4 | 1152 | ||
| Hecatonicosachoron120-celldodecaplexhyperdodecahedronpolydodecahedron | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720 | 120dodecahedra | tetrahedra | 600-células | H4 | 14400 | |
| Hexacosichoron600-celltetraplexhypericosahedronpolytetrahedron | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 | 600tetrahedra | icosahedra | 120-células | H4 | 14400 | |
Como os limites de cada uma dessas figuras são topologicamente equivalentes a uma 3-esfera, cuja característica de Euler é zero, temos o análogo 4-dimensional da fórmula poliédrica de Euler:
N 0 - N 1 + N 2 - N 3 = 0 {\\i1}- N_{\i}+N_{\i}-N_{\i}=0,} 
onde Nk denota o número de faces k no politópo (um vértice é uma face 0, uma borda é uma face 1, etc.).
Visualizações
A tabela a seguir mostra algumas projeções bidimensionais desses poliótopos. Várias outras visualizações podem ser encontradas nos outros sites abaixo. Os gráficos dos diagramas Coxeter-Dynkin também são apresentados abaixo do símboloSchläfli.
| 5-células | 8-células | 16-células | 24-células | 120-células | 600-células |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
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| Projeções ortográficas de estrutura de arame dentro de polígonos Petrie. | |||||
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| Projeções ortográficas sólidas | |||||
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| Diagramas Schlegel de estrutura de arame (projeção em perspectiva) | |||||
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| Projeções estereográficas de estrutura de arame (Hiperesféricas) | |||||
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Páginas relacionadas
- Politopo regular
- Sólido platônico
Perguntas e Respostas
P: O que é um 4-politopo regular convexo?
R: Um 4-politopo regular convexo é um politopo de 4 dimensões que é regular e convexo.
P: Quais são os análogos de 4-politopos regulares convexos em três e duas dimensões?
R: Os análogos de 4 politopos regulares convexos em três dimensões são os sólidos platônicos, enquanto em duas dimensões são os polígonos regulares.
P: Quem primeiro descreveu os 4-politopos regulares convexos?
R: O matemático suíço Ludwig Schläfli foi o primeiro a descrever os 4 politópos regulares convexos em meados do século XIX.
P: Quantos são os 4-politopos regulares convexos?
R: Há exatamente seis 4-politopos regulares convexos.
P: Qual é a característica única do 24-cell polytope entre os 4-polytopes regulares convexos?
R: O politopo de 24 células não tem equivalente tridimensional entre os 4 politopos regulares convexos.
P: Quais são as células tridimensionais que delimitam cada 4-politopo regular convexo?
R: Cada 4-politopo regular convexo é delimitado por um conjunto de células tridimensionais que são todos sólidos platônicos do mesmo tipo e tamanho.
P: Como as células tridimensionais se encaixam em um 4-politopo regular convexo?
R: As células tridimensionais são encaixadas ao longo de suas respectivas faces de forma regular em um 4-politopo regular convexo.
