Há muitos tipos de fractais, feitos de várias maneiras. Um exemplo é o triângulo Sierpinski, onde há um número infinito de pequenos triângulos dentro do triângulo grande. Outro exemplo é o conjunto Mandelbrot, nomeado para Benoît Mandelbrot. O triângulo Sierpinksi é construído usando padrões, mas o conjunto Mandelbrot é baseado em uma equação.
Há também muitos exemplos naturais de fractais na natureza, incluindo árvores, flocos de neve, alguns vegetais e linhas costeiras.
A curva de Koch
A curva de Koch é um exemplo simples de um fractal. Primeiro, comece com parte de uma linha reta - chamada segmento de linha reta. Corte a linha em 3 peças do mesmo tamanho. Livre-se do meio dessas peças, e coloque na parte superior de um triângulo com lados que tenham o mesmo comprimento do bit a ser cortado. Agora temos 4 segmentos de linha que estão se tocando nas extremidades. Agora podemos fazer o que acabamos de fazer com o primeiro segmento para cada um dos 4 bits. Agora podemos fazer a mesma coisa repetidamente com todos os bits com os quais terminamos. Agora podemos fazer isso para sempre e olhar para o que acabamos por fazer.
O comprimento da curva de Koch é infinito e a área da curva de Koch é zero. Isto é bastante estranho. Um segmento de linha (com dimensão 1) poderia ter um comprimento de 1, mas tem uma área de 0. Um quadrado de comprimento 1 e largura 1 (com dimensão 2) terá área 1 e comprimento de infinito.
Dimensão de similaridade
Portanto, a Curva Koch parece ser maior que algo da dimensão 1, e menor que algo da dimensão 2. A idéia da dimensão de similaridade é dar uma dimensão que dá uma melhor idéia do comprimento ou área para os fractais. Assim, para uma Curva de Koch, nós queremos uma dimensão entre 1 e 2.
A Curva Koch pode ser cortada em quatro pedaços, cada um dos quais com 1 3 peças 
do tamanho do original. Chamamos o número de peças que um fractal pode ser cortado em N estilo N
, e chamamos a diferença de tamanho de B estilo B
. Colocamos esses na equação:
Onde o log logaritmo 
é o logaritmo de um número. Este número é a Dimensão Hausdorff do fractal. Na Curva Koch, este é o log 4 - log 1 3 = 1,2619... estilo de exibição Log 4 = 1.2619... ...
como queríamos.
A Curva Koch é uma das formas fractais mais simples e, portanto, sua dimensão é fácil de ser trabalhada. Sua dimensão de semelhança e a dimensão Hausdorff são ambas a mesma. Isto não é verdade para os fractais mais complexos.
Floco de neve Koch
O floco de neve Koch (ou estrela Koch) é o mesmo que a curva Koch, exceto que começa com um triângulo equilátero em vez de um segmento de linha.
