Função gama

Em matemática, a função gama (Γ(z)) é uma extensão da função fatorial para todos os números complexos, exceto os números inteiros negativos. Para inteiros positivos, ela é definida como Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! Gama (n)=(n-1)! } $\Gamma (n)=(n-1)!$

A função gama é definida para todos os números complexos. Mas não é definida para números inteiros negativos e zero. Para um número complexo cuja parte real não é um número inteiro negativo, a função é definida por:

A função gama ao longo de parte do eixo real

Imóveis

Valores particulares

Alguns valores particulares da função gama são:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\i1}{\i1}gamma (-3/2)&={\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}&aproximadamente 2363271801207 Gamma (-1/2)&=-2{sqrt {\pi }&approx -3.544907701811}}Gamma (1/2)&={sqrt {\pi {\pi }&approx 1.772453850905 Gamma (1)&=0!&=1 Gamma (3/2)&={\i1}{\i1}{\i}{\i}{\i1}{\i}{\i1}{\i}&aproximadamente 0.88622692545 Gamma (2)&=1!&=1\Gamma (5/2)&={\frac {3}{4}{sqrt {\pi }&approx 1.32934038818}Gamma (3)&=2!&=2 Gamma (7/2)&=tfrac {15}{8}{sqrt {\i}&approx 3.32335097045}Gamma (4)&=3!&=6end{array}}} ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Função Pi

Gauss introduziu a função Pi. Esta é outra forma de denotar a função gama. Em termos da função gama, a função Pi é

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t t z + 1 d t t , {\i (z)==Gamma (z+1)=z;Gamma (z)=int _{0}^^{-t}t^{z+1},{z+1}frac {\i}t},{t} $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

para que

Π ( n ) = n ! Pi (n)=n!n,,} $\Pi (n)=n!\,,$

para cada número inteiro não-negativo, s.f.

Aplicações

Teoria dos números analíticos

A função gama é usada para estudar a função zeta de Riemann. Uma propriedade da função zeta de Riemann é sua equação funcional:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . Gamma Esquerda (esquerda) (2) direita (2) esquerda (1) esquerda (1) direita (1) esquerda (1) esquerda (1) direita (1) esquerda (1) esquerda (1) esquerda (1) esquerda (1) esquerda (2) } $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

Bernhard Riemann encontrou uma relação entre estas duas funções. Isto foi em papel de 1859 "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Sobre o Número de Números Primeiros inferior a uma dada Quantidade")

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . zzeta (z)|Gamma (z)=int _{0}^^^frac {t^{z}}{e^{t}-1}{e^frac {dt}{t}}. } $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

Perguntas e Respostas

P: O que é a função gama em matemática?

R: A função gama é um tópico fundamental no campo das funções especiais em matemática.

P: Qual é a extensão da função fatorial para todos os números complexos, exceto os inteiros negativos?

R: A função gama é uma extensão da função fatorial para todos os números complexos, exceto os inteiros negativos.

P: Como a função gama é definida para números inteiros positivos?

R: Para números inteiros positivos, a função gama é definida como Γ(n) = (n-1)!

P: A função gama é definida para todos os números complexos?

R: Sim, a função gama é definida para todos os números complexos.

P: A função gama é definida para números inteiros negativos e zero?

R: Não, a função gama não está definida para números inteiros negativos e zero.

P: Como a função gama é definida para um número complexo cuja parte real não é um número inteiro negativo?

R: A função gama é definida para um número complexo cuja parte real não é um número inteiro negativo por uma fórmula específica que não é fornecida no texto.

P: Por que a função gama é importante na matemática?

R: A função gama é importante na matemática porque é um tópico-chave no campo das funções especiais e estende a função fatorial a todos os números complexos, exceto os inteiros negativos.