O método de Newton
O método de Newton oferece uma maneira de encontrar os zeros reais de uma função. Este algoritmo é às vezes chamado de método Newton-Raphson, nomeado em homenagem a Sir Isaac Newton e Joseph Raphson.
O método utiliza a derivada da função para encontrar suas raízes. Deve ser feito um "adivinhação" inicial para a localização do zero. A partir deste valor, uma nova adivinhação é calculada por esta fórmula:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\i1}=x_{n+1}=x_{n}-{\i}frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}{f'(x_{n})} 
Aqui xn é o palpite inicial e xn+1 é o próximo palpite. A função f (cujo zero está sendo resolvido para) tem a derivada f'.
Aplicando repetidamente esta fórmula aos palpites gerados (isto é, definindo o valor de xn para a saída da fórmula e recompilação), o valor dos palpites se aproximará de um zero da função.
O método de Newton pode ser explicado graficamente olhando as interseções das linhas tangentes com o eixo x. Primeiro, uma linha tangente ao f em xn é calculada. Em seguida, é encontrada a intersecção entre esta linha tangente e o eixo x. Finalmente, a posição x desta intersecção é registrada como a próxima suposição, xn+1.
A função (azul) está sendo usada para calcular a inclinação de uma linha tangente (vermelha) em xn.
Problemas com o método de Newton
O método de Newton pode encontrar uma solução rapidamente se o valor de adivinhação começar suficientemente perto da raiz desejada. Entretanto, quando o valor de adivinhação inicial não está próximo, e dependendo da função, o método de Newton pode encontrar a resposta lentamente ou não encontrar nenhuma resposta.
Leitura adicional
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). O método de Newton: Uma abordagem atualizada da teoria de Kantorovich. Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Segunda edição impressa. Série Matemática Computacional 35, Springer (2006)
- Yamamoto, T. (2001). "Historical Developments in Convergence Analysis for Newton's and Newton-like Methods". Em Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.). Análise Numérica: Desenvolvimentos Históricos no Século XX. North-Holland. pp. 241-263.
Veja também
- Teorema de Kantorovich (Declaração sobre a convergência do método de Newton, encontrada por Leonid Kantorovich)
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Perguntas e Respostas
P: Qual é o método de Newton?
R: O método de Newton é um algoritmo para encontrar os zeros reais de uma função. Ele usa a derivada da função para calcular as suas raízes, e requer um valor inicial de adivinhação para a localização do zero.
P: Quem desenvolveu este método?
R: O método foi desenvolvido por Sir Isaac Newton e Joseph Raphson, daí que por vezes seja chamado de método Newton-Raphson.
P: Como é que este algoritmo funciona?
R: Este algoritmo funciona aplicando repetidamente uma fórmula que aceita um valor de adivinhação inicial (xn) e calcula uma nova adivinhação (xn+1). Repetindo este processo, os palpites aproximar-se-ão de um zero da função.
P: O que é necessário para usar este algoritmo?
R: Para usar este algoritmo, você deve ter um "palpite inicial" para a localização do zero assim como o conhecimento sobre a derivada da sua dada função.
P: Como podemos explicar o método de Newton graficamente?
R: Podemos explicar o Método de Newton graficamente, olhando para intersecções entre linhas tangentes com eixo x. Primeiro, uma linha tangente a f em xn é calculada. Em seguida, encontramos a intersecção entre esta linha tangente e o eixo x e registamos a sua posição x como o nosso próximo palpite - xn+1.
P: Existe alguma limitação ao usar o Método de Newton?
R: Sim, se o seu palpite inicial estiver muito longe da raiz real, então pode levar mais tempo ou mesmo não convergir para a raiz devido a oscilações à sua volta ou divergência.
