O método de Newton

Autor: Leandro Alegsa

18-12-2020

O método de Newton oferece uma maneira de encontrar os zeros reais de uma função. Este algoritmo é às vezes chamado de método Newton-Raphson, nomeado em homenagem a Sir Isaac Newton e Joseph Raphson.

O método utiliza a derivada da função para encontrar suas raízes. Deve ser feito um "adivinhação" inicial para a localização do zero. A partir deste valor, uma nova adivinhação é calculada por esta fórmula:

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\i1}=x_{n+1}=x_{n}-{\i}frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}{f'(x_{n})} $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

Aqui xn é o palpite inicial e xn+1 é o próximo palpite. A função f (cujo zero está sendo resolvido para) tem a derivada f'.

Aplicando repetidamente esta fórmula aos palpites gerados (isto é, definindo o valor de xn para a saída da fórmula e recompilação), o valor dos palpites se aproximará de um zero da função.

O método de Newton pode ser explicado graficamente olhando as interseções das linhas tangentes com o eixo x. Primeiro, uma linha tangente ao f em xn é calculada. Em seguida, é encontrada a intersecção entre esta linha tangente e o eixo x. Finalmente, a posição x desta intersecção é registrada como a próxima suposição, xn+1.

A função (azul) está sendo usada para calcular a inclinação de uma linha tangente (vermelha) em xn.

Problemas com o método de Newton

O método de Newton pode encontrar uma solução rapidamente se o valor de adivinhação começar suficientemente perto da raiz desejada. Entretanto, quando o valor de adivinhação inicial não está próximo, e dependendo da função, o método de Newton pode encontrar a resposta lentamente ou não encontrar nenhuma resposta.

Leitura adicional

Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). O método de Newton: Uma abordagem atualizada da teoria de Kantorovich. Birkhäuser.
Peter Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Segunda edição impressa. Série Matemática Computacional 35, Springer (2006)
Yamamoto, T. (2001). "Historical Developments in Convergence Analysis for Newton's and Newton-like Methods". Em Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.). Análise Numérica: Desenvolvimentos Históricos no Século XX. North-Holland. pp. 241-263.

Veja também

Teorema de Kantorovich (Declaração sobre a convergência do método de Newton, encontrada por Leonid Kantorovich)

Controle de autoridade

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Perguntas e Respostas

P: Qual é o método de Newton?

R: O método de Newton é um algoritmo para encontrar os zeros reais de uma função. Ele usa a derivada da função para calcular as suas raízes, e requer um valor inicial de adivinhação para a localização do zero.

P: Quem desenvolveu este método?

R: O método foi desenvolvido por Sir Isaac Newton e Joseph Raphson, daí que por vezes seja chamado de método Newton-Raphson.

P: Como é que este algoritmo funciona?

R: Este algoritmo funciona aplicando repetidamente uma fórmula que aceita um valor de adivinhação inicial (xn) e calcula uma nova adivinhação (xn+1). Repetindo este processo, os palpites aproximar-se-ão de um zero da função.

P: O que é necessário para usar este algoritmo?

R: Para usar este algoritmo, você deve ter um "palpite inicial" para a localização do zero assim como o conhecimento sobre a derivada da sua dada função.

P: Como podemos explicar o método de Newton graficamente?

R: Podemos explicar o Método de Newton graficamente, olhando para intersecções entre linhas tangentes com eixo x. Primeiro, uma linha tangente a f em xn é calculada. Em seguida, encontramos a intersecção entre esta linha tangente e o eixo x e registamos a sua posição x como o nosso próximo palpite - xn+1.

P: Existe alguma limitação ao usar o Método de Newton?

R: Sim, se o seu palpite inicial estiver muito longe da raiz real, então pode levar mais tempo ou mesmo não convergir para a raiz devido a oscilações à sua volta ou divergência.