Métrica Schwarzschild

A métrica Schwarzschild foi calculada por Karl Schwarzschild como uma solução para as equações de campo de Einstein em 1916. Também conhecida como solução de Schwarzschild, é uma equação da relatividade geral no campo da astrofísica. Uma métrica refere-se a uma equação que descreve o tempo espacial; em particular, uma métrica de Schwarzschild descreve o campo gravitacional em torno de um buraco negro de Schwarzschild - um buraco negro esférico não rotativo sem campo magnético, e onde a constante cosmológica é zero.

É essencialmente uma equação que descreve como uma partícula se move através do espaço perto de um buraco negro.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{\frac ^1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2})^(dr)^{2}+r^{2}(dtheta )^{2}+r^sin ^{2}(dphi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$

Derivação

Embora uma forma mais complicada de calcular a métrica de Schwarzschild possa ser encontrada utilizando os Símbolos de Christoffel, também pode ser derivada utilizando as equações de velocidade de fuga ( v e {\displaystyle v_{e}} $v_{e}$ ), dilatação do tempo (dt'), contracção do comprimento (dr'):

v e = v = 2 G M r {\a}=v={\sqrt {\frac {\frac {\a}{r}}}} $v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$ (1)

v é a velocidade da partícula
G é a constante gravitacional
M é a massa do buraco negro
r é o quão próxima a partícula está do objecto pesado

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\i1}dt'=dt{\i}dt{\i1-{\i}frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} $dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} $dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (3)

dt' é a verdadeira mudança da partícula no tempo
dt' é a mudança da partícula no tempo
dr' é a verdadeira distância percorrida
dr' é a mudança da partícula na distância
v' é a velocidade da partícula
c' é a velocidade da luz

Nota: o verdadeiro intervalo de tempo e a verdadeira distância percorrida pela partícula são diferentes do tempo e da distância calculados nos cálculos da física clássica, uma vez que esta viaja num campo gravitacional tão pesado!

Usando a equação para espaço-tempo plano em coordenadas esféricas:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 ^{\i1}2 ^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(dtheta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(d=theta )(d=phi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (4)

ds é o caminho da partícula

θ $\theta$ é o ângulo do jogo
d θ $\theta$ e d ϕ $\phi$ são a mudança nos ângulos

Introduzir as equações de velocidade de fuga, dilatação do tempo e contracção do comprimento (equações 1, 2, e 3) na equação do espaço de tempo plano (equação 4), para obter a métrica de Schwarzschild:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}})(dt)^{2}+{\frac ^{(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2})^+r^{2}(dtheta )^{2}+r^2sin ^{2}(dphi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (5)

A partir desta equação podemos retirar o raio de Schwarzschild ( r s {\i1} $r_{s}$ ), o raio deste buraco negro. Embora isto seja mais comummente utilizado para descrever um buraco negro de Schwarzschild, o raio de Schwarzschild pode ser calculado para qualquer objecto pesado.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_s}{r}})(dt)^{2}+{\frac ^1}{(1-{\frac {r_{s}{r})^(dr)^{2}+r^{2}(dtheta )^{2}+r^{2}sin ^{2}(dphi )^{2}} $(ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}$ (6)

r s {\i1} $r_{s}$ é o limite do raio definido do objecto

Perguntas e Respostas

P: O que é a métrica Schwarzschild?

R: A métrica Schwarzschild é uma equação da relatividade geral no campo da astrofísica que descreve como uma partícula se move pelo espaço próximo a um buraco negro. Foi calculada por Karl Schwarzschild como uma solução para as equações do campo de Einstein em 1916.

P: A que se refere uma métrica?

R: Uma métrica se refere a uma equação que descreve o tempo espacial; em particular, uma métrica de Schwarzschild descreve o campo gravitacional ao redor de um buraco negro de Schwarzschild.

P: Quais são algumas características do buraco negro de Schwarzschild?

R: O buraco negro Schwarzschild é não rotativo, esférico, e não tem campo magnético. Além disso, sua constante cosmológica é zero.

P: Como podemos descrever o campo gravitacional em torno de um buraco negro de Schwarzschild?

R: Podemos descrevê-lo usando a equação métrica de Schwartzchild, que descreve como as partículas se movem pelo espaço próximo a esse tipo de buraco negro.

P: Quem primeiro calculou essa equação?

R: Karl Schwartzchild calculou primeiro esta equação como uma solução para as equações de campo de Einstein, em 1916.

P: O que representa (ds)^2 nesta equação?

R: (ds)^2 representa a distância entre dois pontos no espaço-tempo medido em relação às coordenadas de tempo e espaço.