As variáveis conjugadas são pares especiais de variáveis (como x, y, z) que não dão o mesmo resultado quando se faz uma certa operação matemática com elas. Isto significa que x*y não é igual a y*x. Aqui, o * não significa multiplicação. Pode significar adição, subtracção, divisão, ou qualquer operação que faça sentido, nesse caso.
Um físico, Werner Heisenberg, e os seus colegas de trabalho utilizaram equações estudadas na física clássica para descrever e prever eventos da física quântica. Ele descobriu que o impulso (massa vezes velocidade, representada por P) e posição (representada por Q) são variáveis conjugadas. Isto significa que P*Q não é igual a Q*P, na física quântica.
Aqui estão duas equações especiais para calcular a energia de um electrão (pequena coisa verde) num átomo de hidrogénio.
A primeira equação poderia ser utilizada para descobrir o produto do impulso e da posição:
S ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\i1}displaystyle Y(n,n-b)==sum _{a}^{},p(n,n-a)q(n-a,n-b)} 
A segunda equação poderia ser utilizada para calcular o produto da posição e do impulso:
Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\i1}displaystyle Z(n,n-b)==sum _{a}^{},q(n,n-a)p(n-a,n-b)} 
Algum tempo depois, outro físico, Max Born descobriu que, porque P*Q não é igual a Q*P, o resultado de Q*P menos P*Q não é zero. (O "menos" não é o mesmo "menos" de "3 - 2". É uma coisa diferente com o mesmo nome).
Born descobriu que:
Q ∗ P - P ∗ Q = i h 2 π {\i}displaystyle {Q*P-P*Q={\ih}{2\i}{\ih} }}}} 
[O símbolo Q é a matriz para a posição, P é a matriz para o momento, i é um número complexo, e h é a constante de Planck, um número que aparece muito na mecânica quântica].
As variáveis conjugadas têm aplicações em toda a Física, na Química e num monte de outras áreas da ciência.