Cilindro

Em uso comum, entende-se por cilindro uma seção finita de um cilindro circular direito, ou seja, o cilindro com as linhas geradoras perpendiculares às bases, com suas extremidades fechadas para formar duas superfícies circulares, como na figura (à direita). Se o cilindro tem um raio r e comprimento (altura) h, então seu volume é dado por:

V = πr2h

e sua área de superfície é:

• a área do topo ⁽πr2) +
• a área do fundo ⁽πr2) +
• a área da lateral (2πrh).

Portanto, sem a parte superior ou inferior (área lateral), a área de superfície é:

A = 2πrh.

Com a parte superior e inferior, a área de superfície é:

A = ^2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h).

Para um determinado volume, o cilindro com a menor área de superfície tem h = 2r. Para uma determinada área de superfície, o cilindro com o maior volume tem h = 2r, ou seja, o cilindro cabe em um cubo (altura = diâmetro).

Tendo um cilindro circular direito com uma altura h unidades e uma base de raio r unidades com os eixos coordenados escolhidos de modo que a origem esteja no centro de uma base e a altura seja medida ao longo do eixo positivo x. Uma seção plana a uma distância de x unidades da origem tem uma área de A(x) unidades quadradas onde

A ( x ) = π r 2 {\\i1}displaystyle A(x)==pi r^{\i}}

ou

A ( y ) = π r 2 {\i1}displaystyle A(y)==pi r^{2}}

Um elemento de volume, é um cilindro direito de área de base unidades quadradas de Awi e uma espessura de Δix unidades. Assim, se V unidades cúbicas é o volume do cilindro circular direito, por soma de Riemann,

V o l u m e o d e c y l i n d e r = lim | Δ → 0 | | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {\i}displaystyle {\i} {\i1}mathrm {\i} =lim _{\i=1}{\i=1}A(w_{\i}){\i}Delta _{\i}x

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {\i1}displaystyle =int _{0}^{h}A(y)^{2},dy}

= ∫ 0 h π r 2 d y {\i1}displaystyle =int _{0}^{h}pi r^{2},dy}

= π r 2 h {\i1}displaystyle ==,r^{2},h,}

Usando coordenadas cilíndricas, o volume pode ser calculado por integração sobre

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\i1}displaystyle =int _{0}^^^^^^^^ 2pi ^int _{0}^s,^,ds,dz}

= π r 2 h {\i1}displaystyle ==,r^{2},h,}

As seções cilíndricas são as interseções dos cilindros com os planos. Para um cilindro circular direito, há quatro possibilidades. Um plano tangente ao cilindro, encontra o cilindro em uma única linha reta. Movido paralelamente a si mesmo, o plano ou não intercepta o cilindro ou o intercepta em duas linhas paralelas. Todos os outros planos cruzam o cilindro em uma elipse ou, quando estão perpendiculares ao eixo do cilindro, em um círculo.

Um cilindro elíptico, ou cilíndroide, é uma superfície quadriculada, com a seguinte equação em coordenadas cartesianas:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1. Estilo de jogo Esquerda(x a ) 2 + Esquerda(x b ) 2 = 1.

Esta equação é para um cilindro elíptico, uma generalização do cilindro comum, circular (a = b). Ainda mais geral é o cilindro generalizado: a seção transversal pode ser qualquer curva.

O cilindro é um quadriculado degenerado porque pelo menos uma das coordenadas (neste caso z) não aparece na equação.

Um cilindro oblíquo tem as superfícies superior e inferior deslocadas uma da outra.

Existem outros tipos de cilindros mais incomuns. Estes são os cilindros elípticos imaginários:

2 + ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 Estilo de exibição Esquerda(x a )

o cilindro hiperbólico:

2 - ( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 Estilo de exibição Esquerda(x a ) Direita(2) - Esquerda(2) - Esquerda(2) - Esquerda(3) - Direita(4)

e o cilindro parabólico:

x 2 + 2 a y = 0. ^{\\i1}- estilo de jogo x^{\i}+2ay=0,^,}

Em geometria projetiva, um cilindro é simplesmente um cone cujo ápice está no infinito.

Isto é útil na definição de cónicas degeneradas, que requerem a consideração das cónicas cilíndricas.